教案《切線(xiàn)長(cháng)定理》
教案《切線(xiàn)長(cháng)定理》
1、教材分析
�。�1）知識結構
�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：切線(xiàn)長(cháng)定理及其應用．因切線(xiàn)長(cháng)定理再次體現了圓的軸對稱(chēng)性，它為證明線(xiàn)段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系等提供了理論依據，它屬于工具知識，經(jīng)常應用，因此它是本節的重點(diǎn)．
難點(diǎn)：與切線(xiàn)長(cháng)定理有關(guān)的證明和計算問(wèn)題．如120頁(yè)練習題中第3題，它不僅應用切線(xiàn)長(cháng)定理，還用到解方程組的知識，是代數與幾何的綜合題，學(xué)生往往不能很好的把知識連貫起來(lái)．
2、教法建議
本節內容需要一個(gè)課時(shí)．
�。�1）在教學(xué)中，組織學(xué)生自主觀(guān)察、猜想、證明，并深刻剖析切線(xiàn)長(cháng)定理的基本圖形；對重要的結論及時(shí)總結；
�。�2）在教學(xué)中，以“觀(guān)察——猜想——證明——剖析——應用——歸納”為主線(xiàn)，開(kāi)展在教師組織下，以學(xué)生為主體，活動(dòng)式教學(xué)．
教學(xué)目標
1．理解切線(xiàn)長(cháng)的概念，掌握切線(xiàn)長(cháng)定理；
2．通過(guò)對例題的分析，培養學(xué)生分析總結問(wèn)題的習慣，提高學(xué)生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．
3．通過(guò)對定理的猜想和證明，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，調動(dòng)學(xué)生的學(xué)習積極性，樹(shù)立科學(xué)的學(xué)習態(tài)度．
教學(xué)重點(diǎn):
切線(xiàn)長(cháng)定理是教學(xué)重點(diǎn)
教學(xué)難點(diǎn):
切線(xiàn)長(cháng)定理的靈活運用是教學(xué)難點(diǎn)
教學(xué)過(guò)程設計:
�。ㄒ唬┯^(guān)察、猜想、證明，形成定理
1、切線(xiàn)長(cháng)的概念．
如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，我們把線(xiàn)段PA，PB叫做點(diǎn)P到⊙O的切線(xiàn)長(cháng)．
引導學(xué)生理解：切線(xiàn)和切線(xiàn)長(cháng)是兩個(gè)不同的概念，切線(xiàn)是直線(xiàn)，不能度量；切線(xiàn)長(cháng)是線(xiàn)段的長(cháng)，這條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.
2、觀(guān)察
利用電腦變動(dòng)點(diǎn)P 的位置，觀(guān)察圖形的特征和各量之間的關(guān)系．
3、猜想
引導學(xué)生直觀(guān)判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、證明猜想，形成定理．
猜想是否正確，數學(xué)教案－切線(xiàn)長(cháng)定理。需要證明．
組織學(xué)生分析證明方法．關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)OA，OB，要證明PA＝PB．
想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？
∠OPA＝∠OPB(如圖)等．
切線(xiàn)長(cháng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(cháng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角．
5、歸納：
把前面所學(xué)的切線(xiàn)的5條性質(zhì)與切線(xiàn)長(cháng)定理一起歸納切線(xiàn)的性質(zhì)
6、切線(xiàn)長(cháng)定理的基本圖形研究
如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線(xiàn)，A，B為切點(diǎn)．直線(xiàn)OP交⊙O于點(diǎn)D，E，交AP于C
(1)寫(xiě)出圖中所有的垂直關(guān)系；
(2)寫(xiě)出圖中所有的全等三角形；
(3)寫(xiě)出圖中所有的相似三角形；
(4)寫(xiě)出圖中所有的等腰三角形．
說(shuō)明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學(xué)習幾何中關(guān)鍵，它是靈活應用知識的基礎．
�。ǘ⿷�、歸納、反思
例1、已知：如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB為⊙O的切線(xiàn)，
A和B是切點(diǎn)，BC是直徑．
求證：AC∥OP．
分析：從條件想，由P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由條件BC是直徑，可得OB＝OC，由此聯(lián)想到與直徑有關(guān)的定理“垂徑定理”和“直徑所對的圓周角是直角”等．于是想到可能作輔助線(xiàn)AB.
從結論想，要證AC∥OP，如果連結AB交OP于O，轉化為證CA⊥AB，OP ⊥AB，或從OD為△ABC的中位線(xiàn)來(lái)考慮．也可考慮通過(guò)平行線(xiàn)的判定定理來(lái)證，可獲得多種證法．
證法一．如圖．連結AB．
PA，PB分別切⊙O于A(yíng)，B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC為⊙O直徑
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (學(xué)生板書(shū))
證法二．連結AB，交OP于D
PA，PB分別切⊙O于A(yíng)、B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴AD＝BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位線(xiàn)
∴AC∥OP
證法三．連結AB，設OP與AB弧交于點(diǎn)E
PA，PB分別切⊙O于A(yíng)、B
∴PA＝PB
∴ OP ⊥AB
∴ =
∴∠C＝∠POB
∴AC∥OP
反思：教師引導學(xué)生比較以上證法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，培養學(xué)生靈活應用知識的能力．
例2、 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．
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反思：（1）例3事實(shí)上是圓外切四邊形的一個(gè)重要性質(zhì)，請學(xué)生記住結論．（2）圓內接四邊形的性質(zhì)：對角互補．
P120練習：
練習1 填空
如圖,已知⊙O的半徑為3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分別切⊙O于A(yíng)，B，則PA＝_______，∠APB＝________
練習2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的內切圓分別和BC，AC，AB切于點(diǎn)D，E，F，求AF，AD和CE的長(cháng)．
分析：設各切線(xiàn)長(cháng)AF，BD和CE分別為x厘米，y厘米，z厘米．后列出關(guān)于x , y，z的方程組，解方程組便可求出結果．
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反思：解這個(gè)題時(shí)，除了要用三角形內切圓的概念和切線(xiàn)長(cháng)定理之外，還要用到解方程組的知識，是一道綜合性較強的計算題．通過(guò)對本題的研究培養學(xué)生的綜合應用知識的能力．
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1、提出問(wèn)題學(xué)生歸納
�。�1）這節課學(xué)習的具體內容；
�。�2）學(xué)習用的數學(xué)思想方法；
�。�3）應注意哪些概念之間的區別?
2、歸納基本圖形的結論
3、學(xué)習了用代數方法解決幾何問(wèn)題的思想方法．
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教材P131習題7．4A組1．(1)，2，3，4．B組1題．
探究活動(dòng)
圖中找錯
你能找出（圖1）與（圖2）的錯誤所在嗎？
在圖2中，P1A為⊙O1和⊙O3的切線(xiàn)、P1B為⊙O1和⊙O2的切線(xiàn)、P2C為⊙O2和⊙O3的切線(xiàn)．
提示：在圖1中，連結PC、PD，則PC、PD都是圓的直徑，從圓上一點(diǎn)只能作一條直徑，所以此圖是一張錯圖，點(diǎn)O應在圓上．
在圖2中，設P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A＝P3C＝c，則有
a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①
c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②
a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③
將②代人①式得
a =P1P3+（P2P3+ b）=P1P3+P2P3+ b，
∴a-b=P1P3+P2P3
由③得a-b=P1P2得
∴P1P2=P2P3+ P1P3
∴P1、P 2 、P3應重合，故圖2是錯誤的．
數學(xué)教案－切線(xiàn)長(cháng)定理
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