恒成立與存在性問(wèn)題方法總結
高三數學(xué)復習中的恒成立與存在性問(wèn)題，涉及一次函數、二次函數等函數的性質(zhì)、圖像，滲透著(zhù)換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng )造性等方面起到了積極的作用，因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，恒成立與存在性問(wèn)題的處理途徑有多種，下面是小編整理的恒成立與存在性問(wèn)題方法總結，歡迎來(lái)參考！
一、構建函數
構建適當的函數，將恒成立問(wèn)題轉化為能利用函數的性質(zhì)來(lái)解決的問(wèn)題。
1、構建一次函數
眾所周知，一次函數的圖像是一條直線(xiàn)，要使一次函數在某一區間內恒大于（或小于）零，只需一次函數在某區間內的兩個(gè)端點(diǎn)處恒大于（或小于）零即可。
例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求實(shí)數k的取值范圍。
解：構建函數f（x）= kx+3k+1，則原問(wèn)題轉化為f（x）在x∈（-2，2）內恒為正。若k=0，則f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，則f（x）為一次函數，問(wèn)題等價(jià)于f（-2）＞0，f（2）＞0，
解之得k∈（- ，+∞）。
例2：對m≤2的一切實(shí)數m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范圍。
解：原問(wèn)題等價(jià)于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，設f（m）=（x -1）m-（2x-1），則原問(wèn)題轉化為求一次函數f（m）或常數函數在［-2，2］內恒為負值時(shí)x的取值范圍。
�。�1）當x -1=0時(shí)，x=±1。
當x=1時(shí)，f（m）＜0恒成立；當x=-1時(shí)，f（m）＜0不成立。
�。�2） 當x -1≠0時(shí)，由一次函數的單調性知：f（m）＜0等價(jià)于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜ ；綜上，所求的x∈（ ）。
2、構建二次函數
二次函數的圖像和性質(zhì)是中學(xué)數學(xué)中的重點(diǎn)內容，利用二次函數的圖像特征及相關(guān)性質(zhì)來(lái)解決恒成立問(wèn)題，使原本復雜的問(wèn)題變得容易解決。
例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求實(shí)數a的取值范圍。
解：構造函數g（x）= ax +2x+1，則原問(wèn)題等價(jià)于：當x≥0時(shí)，g（x）恒大于0。
若a=0且x≥0，則g（x）= 2x+1＞0恒成立；
若a≠0，則g（x）為二次函數，當a＜0時(shí)，顯然當x≥0時(shí)不能使g（x）恒大于0，僅當a＞0時(shí)，要使當x≥0時(shí)，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0
∴a的取值范圍為［0，+∞）。
3、構建形如f（x）=ax+ 的函數
通過(guò)換元、變形，將原問(wèn)題轉化為形如f（x）=ax+ 的函數的最值問(wèn)題，再合理利用該函數的單調性等性質(zhì)來(lái)解題，常要用到如下結論：
�。�1）f（x）=ax+ 為奇函數，（2）當a＞0，b＞0時(shí)，f（x）在0， 上遞減，在 ，+∞上遞增。
例4：若不等式x -5x-6＜a（x-4）對于x∈［-1，1］恒成立，求a的.取值范圍。
解：由x∈［-1，1］知：x-4＜0，則原問(wèn)題等價(jià)于：當x∈［-1，1］時(shí)， ＞a恒成立，即（x-4）- +3＞a，令t=x-4，則原問(wèn)題又等價(jià)于：當t∈［-5，-3］時(shí)，t- +3＞a恒成立，構建函數f（t）= t- ，在t∈［-5，-3］上單調遞增，∴0≤3+f（t） ≤ ，要使3+ （t- ）＞a恒成立，只要a＜0即可。
二、分離參數
運用不等式的相關(guān)知識不難推出如下結論：
若對于x的取值范圍內的任何一個(gè)數，都有f（x）＞g（a）恒成立，則f （x）＞g（a），若對于x的取值范圍內的任何一個(gè)數，都有f（x）＜g（a）恒成立，則f （x）＜g（a）。
例5：若不等式|x-3|-|x+1|＜a在（-∞，+∞）內恒成立，求a的取值范圍。
解：構造函數f（x）=|x-3|-|x+1|，則a必須大于f（x）的最大值，由f（x）=-4，x≥32-2x，-1＜x＜34，x≤-1知，f （x）=4，故a的取值范圍為（4，+∞）。
三、特殊賦值
取特殊值的方法，對做選擇題很有效，在恒成立問(wèn)題上也不失為一個(gè)好方法。
例7：已知實(shí)數a，b變化時(shí)，直線(xiàn)l ：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0恒過(guò)定點(diǎn)
解：∵直線(xiàn)l 恒過(guò)定點(diǎn)，
故令a=1，b=1，得3x+2y=0
a=0，b=1，得x+y-1=0
∴3x+2y=0x+y-1=0
解之得：x=-2y=3，將（-2，3）代入l ，經(jīng)檢驗，點(diǎn)恒滿(mǎn)足方程（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0。
【恒成立與存在性問(wèn)題方法總結】相關(guān)文章：
總結的寫(xiě)作技巧與方法06-16
易經(jīng)講解：立心勿恒10-09
周易全解之恒卦09-30
哲理文學(xué)與哲理文學(xué)觀(guān)的存在作文09-28
成立工會(huì )請示12-15
成立大會(huì )賀信12-09
習慣持恒終有成_1000字02-11
財務(wù)分析方法與禁忌12-08
成立學(xué)習小組作文03-04