連續函數有何性質(zhì)

　　1、 有界性

　　所謂有界是指，存在一個(gè)正數M，使得對于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。

　　證明：利用致密性定理：有界的數列必有收斂子數列。

　　2、最值性

　　所謂最大值是指，[a,b]上存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱(chēng)f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。

　　3、 介值性

　　這個(gè)性質(zhì)又被稱(chēng)作介值定理，其包含了兩種特殊情況：

　�。�1）零點(diǎn)定理。也就是當f(x)在兩端點(diǎn)處的函數值A、B異號時(shí)（此時(shí)有0在A(yíng)和B之間），在開(kāi)區間(a,b)上必存在至少一點(diǎn)ξ，使f(ξ)=0。

　�。�2）閉區間上的連續函數在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。

　　一致連續性

　　閉區間上的連續函數在該區間上一致連續。

　　所謂一致連續是指，對任意ε>0（無(wú)論其多么�。�，總存在正數δ，當區間I上任意兩個(gè)數x1、x2滿(mǎn)足|x1-x2|<δ時(shí)，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就稱(chēng)f(x)在I上是一致連續的。

　　函數的連續性

　　對于連續性，在自然界中有bai許多現象，如氣溫du的變化，植物的生長(cháng)等都是連續地zhi變化著(zhù)的。這種現象在函dao數關(guān)系上的反映，就是函數的連續性。簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果一個(gè)函數的圖像你可以一筆畫(huà)出來(lái)，整個(gè)過(guò)程不用抬筆，那么這個(gè)函數就是連續的。