數學(xué)一年級期中試題精選
在學(xué)習幾何知識時(shí)，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)過(guò)如下兩個(gè)結論：
(1)連結兩點(diǎn)的所有線(xiàn)中，直線(xiàn)段是最短的;
(2)直線(xiàn)外的一個(gè)定點(diǎn)與直線(xiàn)上的各點(diǎn)的連線(xiàn)以垂線(xiàn)為最短.
利用這兩個(gè)結論可以解決許多實(shí)際生活中求最短路線(xiàn)的問(wèn)題.
例1甲、乙兩村之間隔一條河，如圖13—1.現在要在小河上架一座橋，使得這兩村之間的行程最短，橋應修在何處?
分析：設甲、乙兩村分別用點(diǎn)a、b表示.要在河上架橋，關(guān)鍵是要選取一個(gè)最佳建橋的位置，使得從甲村出發(fā)經(jīng)過(guò)橋到乙村的路程最短.即從甲村到甲村河邊的橋頭的距離加上橋長(cháng)(相當于河的寬度)，再加上乙村到乙村河邊的橋頭的距離盡可能短，這是一個(gè)求最短折線(xiàn)的問(wèn)題.直接找出這條折線(xiàn)很困難，能否可以把它轉化為直線(xiàn)問(wèn)題呢?由于河的寬度不變，不論橋修在哪里，橋都是必經(jīng)之路，且橋長(cháng)相當于河寬，是一個(gè)定值，所以可以預先把這段距離扣除，只要使兩鎮到河邊橋頭的距離最短就可以了.
所謂預先將橋長(cháng)扣除，就是假設先走完橋長(cháng)，即先把橋平移到甲村，先過(guò)了橋，到c點(diǎn)，如圖13—2，找出c到b的最短路線(xiàn)，實(shí)際上求最短折線(xiàn)問(wèn)題轉化為直線(xiàn)問(wèn)題.
解：如圖13—2.過(guò)a點(diǎn)作河岸的垂線(xiàn)，在垂線(xiàn)上截取ac的長(cháng)等于河寬.連bc交與乙村的河岸于f點(diǎn)，作ef垂直于河的另一岸于e點(diǎn)，則ef為架橋的位置，也就是ae+ef+fb是兩村的最短路線(xiàn).
例2如圖13—3，a、b兩個(gè)學(xué)校都在公路的同側.想在這兩校的附近的公路上建一個(gè)汽車(chē)站，要求車(chē)站到兩個(gè)學(xué)校的距離之和最小，應該把車(chē)站建在哪里?
分析：車(chē)站建在哪里，使得a到車(chē)站與b到車(chē)站的距離之和最小，仍然是求最短折線(xiàn)問(wèn)題，同例1一樣關(guān)鍵在于轉化成直線(xiàn)問(wèn)題就好辦了.采用軸對稱(chēng)(直線(xiàn)對稱(chēng))作法.
解：作點(diǎn)b關(guān)于公路(將公路看作是一條直線(xiàn))的對稱(chēng)點(diǎn)b′，如圖13—4，即過(guò)b點(diǎn)作公路(直線(xiàn))的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于o，并延長(cháng)bo到b′，使bo=ob′.連結ab′交直線(xiàn)于點(diǎn)e，連be，則車(chē)站應建在e處，并且折線(xiàn)aeb為最短.
為什么這條折線(xiàn)是最短的呢?分兩步說(shuō)明：
(1)因為b與b′關(guān)于直線(xiàn)對稱(chēng)，根據對稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)知，對稱(chēng)軸上的點(diǎn)到兩個(gè)對稱(chēng)點(diǎn)的距離相等，有be=b′e，所以
ab′=ae+eb′=ae+eb
(2)設e′是直線(xiàn)上不同于e的任意一點(diǎn)，如圖13—5，連結ae′、e′b、e′b′，可得
ae′+e′b=ae′+e′b′>ab′(兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短)
上式說(shuō)明，如果在e點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)建車(chē)站，所行的路程都大于折線(xiàn)aeb.
所以折線(xiàn)aeb最短.
例3如圖13—6，河流ef與公路fd所夾的角是一個(gè)銳角，某公司a在銳角efd內.現在要在河邊建一個(gè)碼頭，在公路邊修建一個(gè)倉庫，工人們從公司出發(fā)，先到河邊的碼頭卸貨，再把貨物轉運到公路邊的倉庫里去，然后返回到a處，問(wèn)倉庫、碼頭各應建在何處，使工人們所行的路程最短.
分析：工人們從a出發(fā)先到河邊碼頭，再到公路的倉庫，然后回到a處，恰好走一個(gè)三角形，現在要求三角形的另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別建在河岸與公路的什么位置能使這個(gè)三角形的三邊之和為最小，利用軸對稱(chēng)原理作圖.
解：過(guò)a分別作河岸、公路的對稱(chēng)點(diǎn)a′、a″，如圖13—7，連結a′a″，交河岸于m，交公路于n，則三角形amn各邊之和等于直線(xiàn)a′a″的長(cháng)度，所以倉庫建在n處，碼頭建在m處，使工人們所行的路程最短.
例4如圖13—8是一個(gè)長(cháng)、寬、高分別為4分米、2分米、1分米的長(cháng)方體紙盒.一只螞蟻要從a點(diǎn)出發(fā)在紙盒表面上爬到b點(diǎn)運送食物，求螞蟻行走的最短路程.
分析：因為是在長(cháng)方體的表面爬行，求的是立體圖形上的最短路線(xiàn)問(wèn)題，往往可以轉化為平面上的最短路線(xiàn)問(wèn)題.將螞蟻爬行經(jīng)過(guò)的兩個(gè)面展開(kāi)在同一平面上，如圖13—9，在展開(kāi)圖中，ab間的最短路線(xiàn)是連結這兩點(diǎn)的直線(xiàn)段，但要注意，螞蟻可沿幾條路線(xiàn)到達b點(diǎn)，需對它們進(jìn)行比較.
解：螞蟻從a點(diǎn)出發(fā)，到b點(diǎn)，有三條路線(xiàn)可以選擇：
(1)從a點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面然后進(jìn)入前側面到達b點(diǎn)，將這兩個(gè)平面展開(kāi)在同一平面上，這時(shí)a、b間的最短路線(xiàn)就是連線(xiàn)ab，如圖13—9(1)，ab是直角三角形abc的斜邊，根據勾股定理，ab2=ac2+bc2=(1+2)2+42=25
(2)從a點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側面，然后進(jìn)入前側面到達b點(diǎn)，將這兩個(gè)面展開(kāi)在同一平面上，如圖13—9(2)，同理
ab2=22+(1+4)2=29
(3)從a點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面，然后進(jìn)入右側面到達b點(diǎn)，將這兩個(gè)面展開(kāi)在同一平面上，如圖13—9(3)，得
ab2=(2+4)2+12=37
比較這三條路線(xiàn)，25最小，所以螞蟻按圖13—9(1)爬行的路線(xiàn)最短，最短路程為5分米.
例5如圖13—10，在圓柱形的木桶外，有一個(gè)小甲蟲(chóng)要從桶外的a點(diǎn)爬到桶內的b點(diǎn).已知a點(diǎn)到桶口c點(diǎn)的距離為14厘米，b點(diǎn)到桶口d點(diǎn)的距離是10厘米，而c、d兩點(diǎn)之間的弧長(cháng)是7厘米.如果小甲蟲(chóng)爬行的是最短路線(xiàn)，應該怎么走?路程是多少?
分析：先設想將木桶的圓柱展開(kāi)成矩形平面，如圖13—11，由于b點(diǎn)在桶內，不便于作圖，利用軸對稱(chēng)原理，作點(diǎn)b關(guān)于直線(xiàn)cd的對稱(chēng)點(diǎn)b′，這就可以用b′代替b，從而找出最短路線(xiàn).
解：如圖13—11，將圓柱體側面展成平面圖形.作點(diǎn)b關(guān)于直線(xiàn)cd的對稱(chēng)點(diǎn)b′，連結ab′，ab′是a、b′兩點(diǎn)間的最短距離，與桶口邊交于o點(diǎn)，則ob′=ob，ab′=ao+ob，那么a、b之間的最短距離就是ao+ob，所以小甲蟲(chóng)在桶外爬到o點(diǎn)后，再向桶內的b點(diǎn)爬去，這就是小甲蟲(chóng)爬行的最短路線(xiàn).
延長(cháng)ac到e，使ce=b′d，因為△aeb′是直角三角形，ab′是斜邊，eb′=cd=7厘米，ae=14+10=24(厘米)，根據勾股定理：
ab′2=ae2+eb′2=242+72=625
所以ab′=25(厘米)
即小甲蟲(chóng)爬行的最短路程是25厘米.
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