幾何證明選講的試題

　　幾何證明選講的試題

　　知識聯(lián)系：那么，圓內接四邊形的圓心究竟有什么性質(zhì)呢?讓我們先來(lái)考慮一下三角形的外接圓圓心的性質(zhì)，我們知道，三角形外接圓圓心是各條邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，

　　那么圓內接四邊形的圓心是否也有相同的性質(zhì)呢?答案是一定的，幾何證明選講試題。原因很簡(jiǎn)單：圓內接四邊形的圓心到四邊形各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合是什么呢?很明顯，這樣的集合是線(xiàn)段的中垂線(xiàn)，那么到四邊形四條邊的定點(diǎn)相等的點(diǎn)的集合一定是四條邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)了，這個(gè)問(wèn)題一旦解決，第一問(wèn)的圓心問(wèn)題就簡(jiǎn)單了。我們看半徑的求解方法。

　　(Ⅱ)當 時(shí)，方程 的兩根為 ， .

　　故 ， .

　　取 的中點(diǎn) ， 的中點(diǎn) ，分別過(guò) 作 的.垂線(xiàn)，兩垂線(xiàn)相交于 點(diǎn)，

　　連接 .因為 ， ， ， 四點(diǎn)共圓，所以 ， ， ， 四點(diǎn)所在圓的圓心為 ，半徑為 .

　　由于 ，故 ， .

　　， .所以 .、

　　該解法是在做出圓心的基礎上求半徑的，考查高中數學(xué)重點(diǎn)知識垂直平分線(xiàn)的問(wèn)題，很有新意。那么該問(wèn)還有沒(méi)有其他的解法?有，請看······

　　解決策略：解該題的第一個(gè)方法用到數學(xué)中基本方法和基本運算，但有點(diǎn)繁瑣，思路也不太好打開(kāi)，有沒(méi)有不用做出圓心直接求半徑的方法？有！

　　知識聯(lián)系：(1)四邊形BCDE的外接圓是不是連接四邊形中任意三點(diǎn)的三角形的外接圓?答案是肯定的!

　　(2)三角形的外接圓半徑與解三角形中的哪個(gè)定理聯(lián)系很緊密?

　　——正弦定理

　　正弦定理的表達形式： = = =2R,其中這里邊的R，就是三角形的外接圓半徑，證明范文《幾何證明選講試題》。那么，我們只要找到三角形的一邊長(cháng)和該邊所對的角，就能將半徑求出，而不需做出圓心。

　　解題過(guò)程：在△ABC中，連接DE、CD,根據AE=4，AC=6易知 ， .

　　則DE2 =AE2+AD2 所以DE=2 ，又在△ADC中，sin∠ACD= = =

　　所以在三角形DCE中， =2R=10 所以R=5 .

　　這種解題方法的掌握，是在有了扎實(shí)的基本功基礎上的巧妙聯(lián)想和合理推測證明，有利于學(xué)生知識體系的構建和基礎知識的提升。

　　解決策略：利用△ABC為直角三角形這個(gè)有利條件，聯(lián)想到解析幾何中圓的標準方程的求法，建立二維x-o-y坐標系，利用解析幾何的手段解決！

　　知識聯(lián)系：圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

　　圓的標準方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

　　Y

　　X

　　解題過(guò)程：在Rt△ABC中，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以AB為x軸，以AC為y軸，建立直角坐標系x-o-y系

　　根據AE=4，AC=6易知 ， .

　　則C(0,6), E(0,4), D(2,0), B(12,0)

　　設圓的一般方程為 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

　　將C、D、E三點(diǎn)的坐標帶入，得

　　36+6E+F=0 D=-14

　　16+4E+F=0 E=-10

　　4+2D+F=0 F=24

　　轉化成標準方程為(x-7)2+(y-5)2=50從而得到半徑是5 .

　　事實(shí)上，這個(gè)方法本身不難，但難就難在如何從幾何證明選講中迅速進(jìn)行知識遷移，轉化成解析幾何問(wèn)題，而這里的轉移，恰恰是解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵所在。

　　統觀(guān)這些解題方法，從本質(zhì)上來(lái)看都是組成高中數學(xué)知識框架的重要部分，并且都要求掌握，所以要求我們在平時(shí)的學(xué)習中夯實(shí)基礎，同時(shí)在學(xué)習的過(guò)程中還要將知識進(jìn)行整理，讓知識聯(lián)系起來(lái)，別且要發(fā)揮我們想像的翅膀，做到深思熟慮，大膽聯(lián)想，合理推測，正確證明，這樣才能做到對知識的整體把握，才能舉一反三，這樣學(xué)起數學(xué)來(lái)就易如反掌了!

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