《3.3 幾何概型》測試題部分
一、選擇題
1.(2011福建文)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內部隨機取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內部的概率等于( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查幾何概型的意義及其概率計算.
答案：C.
解析：所求概率為，故答案選C.
2.(2012遼寧理)在長(cháng)為12cm的線(xiàn)段AB上任取一點(diǎn)C．現作一矩形，其邊長(cháng)分別等于線(xiàn)段AC，CB的長(cháng)，則該矩形面積小于32的概率為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查函數模型的應用、不等式的解法、幾何概型的計算，以及分析問(wèn)題的能力.
答案：C.
解析：設線(xiàn)段AC的長(cháng)為cm，則線(xiàn)段CB的長(cháng)為cm，矩形的面積為，由解得或.又∵，∴該矩形面積小于32的概率為，故選C.
3.(2012北京理)設不等式組表示的平面區域為D.在區域D內隨機取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標原點(diǎn)的距離大于2的概率是 ( ).
A. B. C. D.
考查目的：不等式組表示平面區域以及幾何概型的計算.
答案：D.
解析：題目中表示的區域表示正方形區域，而動(dòng)點(diǎn)D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分，因此，故選D.
二、填空題
4.(2010湖南文)在區間[-1，2]上隨機取一個(gè)數，則的概率為 .
考查目的：考查與長(cháng)度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題的概率計算.
答案：.
解析：區間[0，1]的兩端點(diǎn)之間長(cháng)度是1，區間[-1，2]的長(cháng)度是3，故的概率是.
5.已知下圖所示的矩形，其長(cháng)為12，寬為5.在矩形內隨機地撒1 000顆黃豆，數得落在陰影部分的黃豆數為550顆，則可以估計出陰影部分的面積約為 .
考查目的：了解隨機數的概念，與面積有關(guān)的幾何概型概率問(wèn)題.
答案：33.
解析：設陰影部分的面積為S，由條件知矩形面積為60，則，解得.
6.將一條5米長(cháng)的繩子隨機地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，事件T發(fā)生的概率 .
考查目的：考查隨機事件是否為幾何概型的判斷.
答案：.
解析：類(lèi)似于古典概型，先找到基本事件組，既找到其中每一個(gè)基本事件.注意到每一個(gè)基本事件都與唯一一個(gè)斷點(diǎn)一一對應，故基本事件組中的基本事件就與線(xiàn)段上的.點(diǎn)一一對應，若把離繩首尾兩端距離為1的點(diǎn)記作M、N，則顯然事件T所對應的基本事件所對應的點(diǎn)在線(xiàn)段MN上.由于在古典概型中事件T的概率為T(mén)包含的基本事件個(gè)數/總的基本事件個(gè)數，但這兩個(gè)數字(T包含的基本事件個(gè)數、總的基本事件個(gè)數)是無(wú)法找到的，所以用線(xiàn)段MN的長(cháng)除以線(xiàn)段AB的長(cháng)表示事件T的概率，即.
三、解答題
7.如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機的取一點(diǎn)Q，求過(guò)點(diǎn)Q且與該直徑垂直的弦長(cháng)長(cháng)度不超過(guò)1的概率．
考查目的：考查幾何概型問(wèn)題的概率計算，以及對立事件概率計算等.
答案：.
解析：弦長(cháng)不超過(guò)1，即，而Q點(diǎn)在直徑AB上是隨機的，事件.由幾何概型的概率公式得.
∴弦長(cháng)不超過(guò)1的概率為.
8.甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì )面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去，求兩人能會(huì )面的概率.
考查目的：考查將實(shí)際問(wèn)題轉化為幾何概型概率問(wèn)題解決的能力.
答案：.
解析：以軸和軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì )面滿(mǎn)足的條件是.在如圖所示平面直角坐標系下，(，)的所有可能結果是邊長(cháng)為60的正方形區域，而事件A“兩人能夠會(huì )面”的可能結果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得.
高中數學(xué)知識點(diǎn)：雙曲線(xiàn)方程知識點(diǎn)總結
雙曲線(xiàn)方程
1. 雙曲線(xiàn)的第一定義：
�、泞匐p曲線(xiàn)標準方程：. 一般方程：.
�、脾賗. 焦點(diǎn)在x軸上：
頂點(diǎn)： 焦點(diǎn)： 準線(xiàn)方程 漸近線(xiàn)方程：或
ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：. 焦點(diǎn)：. 準線(xiàn)方程：. 漸近線(xiàn)方程：或，參數方程：或 .
�、谳S為對稱(chēng)軸，實(shí)軸長(cháng)為2a, 虛軸長(cháng)為2b，焦距2c. ③離心率. ④準線(xiàn)距(兩準線(xiàn)的距離);通徑. ⑤參數關(guān)系. ⑥焦點(diǎn)半徑公式：對于雙曲線(xiàn)方程(分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線(xiàn)的上下焦點(diǎn))
“長(cháng)加短減”原則：
構成滿(mǎn)足(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線(xiàn)不帶符號)
�、堑容S雙曲線(xiàn)：雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)，其漸近線(xiàn)方程為，離心率.
�、裙曹楇p曲線(xiàn)：以已知雙曲線(xiàn)的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線(xiàn)，叫做已知雙曲線(xiàn)的共軛雙曲線(xiàn).與互為共軛雙曲線(xiàn)，它們具有共同的漸近線(xiàn)：.
�、晒矟u近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)系方程：的漸近線(xiàn)方程為如果雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為時(shí)，它的雙曲線(xiàn)方程可設為.
例如：若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)為且過(guò)，求雙曲線(xiàn)的方程?
解：令雙曲線(xiàn)的方程為：，代入得.
�、手本�(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系：
區域①：無(wú)切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計2條;
區域②：即定點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，1條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計3條;
區域③：2條切線(xiàn)，2條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計4條;
區域④：即定點(diǎn)在漸近線(xiàn)上且非原點(diǎn)，1條切線(xiàn)，1條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)，合計2條;
區域⑤：即過(guò)原點(diǎn)，無(wú)切線(xiàn)，無(wú)與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn).
小結：過(guò)定點(diǎn)作直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線(xiàn)數目可能有0、2、3、4條.
(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線(xiàn)的斜率可用代入法與漸近線(xiàn)求交和兩根之和與兩根之積同號.
�、巳鬚在雙曲線(xiàn)，則常用結論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準線(xiàn)的距離比為m?n.
簡(jiǎn)證： =,高中英語(yǔ).
常用結論2：從雙曲線(xiàn)一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線(xiàn)的距離等于b.
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