VanHiele思維層次對初中幾何教學(xué)的啟示論文
摘要:幾何是中學(xué)數學(xué)課程中不可或缺的重要內容,我國義務(wù)教育新課程標準強調要在數學(xué)活動(dòng)中學(xué)習幾何,即“做數學(xué)”,十分注重探索圖形性質(zhì)的過(guò)程。這篇文章以van Hiele思維層次理論為依據,闡述了初中學(xué)生學(xué)習幾何的思維發(fā)展過(guò)程,提出了一些促進(jìn)學(xué)生入門(mén)、提升學(xué)生幾何思維發(fā)展的教學(xué)策略和手段,并附上了一節幾何課的教學(xué)設計樣例。
關(guān)鍵詞:van Hiele思維層次;幾何;五步教學(xué)法
在小學(xué)里,學(xué)生主要依靠直覺(jué)思維來(lái)解決有關(guān)圖形的問(wèn)題,進(jìn)入中學(xué)后,學(xué)生開(kāi)始正式的幾何學(xué)習,初步接觸到幾何邏輯證明時(shí),往往感到困難。這其中的原因并不絕對是學(xué)生的“懶惰”或者先天智商不高,而是學(xué)生的思維發(fā)展是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程,如果學(xué)生陡然遇到超過(guò)他們的思維理解能力的教學(xué)內容,那么他們會(huì )無(wú)法跟上。這就需要教師研究中學(xué)生的幾何思維發(fā)展過(guò)程,針對學(xué)生的具體水平設計適當的教學(xué),引導學(xué)生一步步經(jīng)歷和完成各階段的學(xué)習,從而逐漸提高學(xué)生的思維水平。
一、Van Hiele幾何思維層次
1957年,荷蘭數學(xué)教育學(xué)家Dina van Hiele-Geldof和Pierre van Hiele提出了幾何思維層次理論(Van Hiele levels)。他們將學(xué)生的幾何思維發(fā)展分為逐級升高的五個(gè)層次:
層次1:視覺(jué)期(Visual)。學(xué)生僅憑視覺(jué)整體印象來(lái)辨認基本圖形,直接將概念鏈接到門(mén)、籃球等具體模型;
層次2:描述期(Analysis)。學(xué)生能依據操作經(jīng)驗認識到圖形的性質(zhì),但不理解性質(zhì)之間的關(guān)系,不能區別充分和必要條件,也不能將圖形分類(lèi);
層次3:關(guān)系期(Abstract/Informal Deduction)。學(xué)生接受并能使用定義,能認識圖形之間和性質(zhì)之間的邏輯關(guān)系,能作一些簡(jiǎn)單的非正式的推理,但不能形式化地區別命題和逆命題;
層次4:推理期(Deduction)。學(xué)生不再死記硬背,確信必須經(jīng)過(guò)正式的邏輯推理才能建立定理,能建構證明過(guò)程;
層次5:公理期(Rigor)。學(xué)生能夠理解幾何體系及抽象性,能夠在不同的公理系統下嚴謹地建立定理并且分析、比較這些系統。
Van Hiele認為:各層次的發(fā)展是循序漸進(jìn)的,若要成功發(fā)展某一特定層次,必須先具備前一層次的概念和思維策略;思維層次的進(jìn)步更依賴(lài)于教學(xué),而非年齡的增長(cháng);沒(méi)有一種教學(xué)法能讓學(xué)生跳過(guò)某一層次而直接達到下一層次;某一層次的討論對象可變成下一層次的研究對象;每一層次都有自己獨特的語(yǔ)言符號及關(guān)系系統,同樣的名詞在不同層次所代表的概念可能不同。所以,最重要的是:教學(xué)必須配合學(xué)生的'思維層次。
顯然,剛從小學(xué)升入初中的學(xué)生的思維層次大多是層次1或2,這時(shí)數學(xué)教師的任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生“入門(mén)”,使學(xué)生經(jīng)歷能提升其幾何思維層次的教學(xué),做好兩個(gè)學(xué)段幾何學(xué)習的銜接。
二、促進(jìn)初中生幾何思維發(fā)展的教學(xué)策略
以講授和記憶為主的、對學(xué)生的學(xué)習要求一刀切的教學(xué)不能導致有效的學(xué)習,經(jīng)驗、操作、討論和反思才能幫助學(xué)生發(fā)展思維層次。具體地說(shuō):
1.教師應評估學(xué)生的幾何思維水平,給思維層次不同的學(xué)生安排不同的學(xué)習任務(wù)和學(xué)習角色,使學(xué)生接受適合自身經(jīng)驗的學(xué)習任務(wù),并互相促進(jìn)。新課程標準明確指出“教師要及時(shí)了解并尊重學(xué)生的個(gè)體差異,滿(mǎn)足多樣化的學(xué)習需要。教學(xué)中要鼓勵與提倡解決問(wèn)題策略的多樣化,尊重學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所表現出的不同水平”。所以對于基礎很弱的學(xué)生,應該從層次1起步。如果教師盲目地將不契合學(xué)生的思維水平的學(xué)習內容提供給學(xué)生,就會(huì )造成學(xué)生聽(tīng)不懂,繼而死記硬背,最后喪失學(xué)習興趣的后果。
2.教師應給學(xué)生提供探索和運用的機會(huì ),讓學(xué)生獲得在每一階段應有的學(xué)習經(jīng)驗,發(fā)展對概念和性質(zhì)的理解,從而逐級提高思維層次。在學(xué)習幾何概念時(shí),應該讓學(xué)生經(jīng)歷認識圖形,再分析圖形的特征,再發(fā)現圖形之間的關(guān)系,最后作簡(jiǎn)單的推理證明這樣一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程。例如在學(xué)習矩形時(shí),先由學(xué)生作圖,說(shuō)明該圖形是矩形的理由,歸納矩形的定義,通過(guò)測量發(fā)現性質(zhì),明確矩形也是平行四邊形的一種,再反過(guò)來(lái),用幾何畫(huà)板工具提供一個(gè)普通的凸四邊形和一個(gè)平行四邊形給學(xué)生,讓他們拖動(dòng)鼠標,分別找出四邊形和平行四邊形成為矩形應具備的條件。
3.教師應該給學(xué)生提供適當的機會(huì )進(jìn)行討論。在幾何學(xué)習中,語(yǔ)言起十分重要的作用,學(xué)生通過(guò)說(shuō)、聽(tīng)和讀來(lái)明晰和發(fā)現自己的觀(guān)點(diǎn),從而獲得知識,所以應提供動(dòng)態(tài)的教室學(xué)習環(huán)境和適合學(xué)生積極參與、討論、描述、示范的問(wèn)題情境,使學(xué)生交談,分享發(fā)現,質(zhì)疑,確認,形成書(shū)面表達。每一個(gè)層次都有自己的語(yǔ)言風(fēng)格和解釋方式,對于層次1的學(xué)生要鼓勵他們用非正式語(yǔ)言分類(lèi)、列舉和辨析,對于層次2的學(xué)生要通過(guò)問(wèn)題和活動(dòng)引導他們發(fā)現關(guān)系,總結定義,對于層次3的學(xué)生要鼓勵他們口頭解決問(wèn)題并說(shuō)出推理依據。
三、“五步教學(xué)法”促進(jìn)初中生幾何思維層次發(fā)展
Van Hieles夫婦推薦在特定的幾何概念學(xué)習中使用五步教學(xué)法來(lái)提升學(xué)生的思維水平:
1.學(xué)前咨詢(xún)(Information):在教學(xué)之前,教師通過(guò)觀(guān)察與發(fā)問(wèn),了解學(xué)生已具備哪些知識,以作為教學(xué)準備與參考。在對話(huà)中及時(shí)引入主題、學(xué)習目標,提出問(wèn)題。重點(diǎn):雙向溝通。
2.引導學(xué)習方向(Guided orientation):教師布置簡(jiǎn)短的任務(wù)(問(wèn)題或作業(yè)),使學(xué)生探究所要研究的領(lǐng)域,并了解研究的進(jìn)一步方向。這些任務(wù)大都要求學(xué)生在教師的引導下,使用排列、組合、積木、折紙、畫(huà)圖等操作方式進(jìn)行探索。例如:讓學(xué)生沿對角線(xiàn)折疊菱形,然后問(wèn)他們有什么發(fā)現。在這種有計劃的引導過(guò)程中,主題所包含的概念、性質(zhì)和關(guān)系逐漸變得明確。重點(diǎn):任務(wù)操作。
3.整合(Integration):使學(xué)生總結所學(xué)的幾何概念、知識點(diǎn)和方法,形成知識網(wǎng)絡(luò ),并在作業(yè)和其他任務(wù)中進(jìn)一步理解和運用,在此過(guò)程中,學(xué)生也獲得了相關(guān)解決問(wèn)題的方法的經(jīng)驗。重點(diǎn):總結,再運用。
例如:人教版七年級上學(xué)期“第四章4.2線(xiàn)段,射線(xiàn),直線(xiàn)”中的概念教學(xué)設計:
A.導入新課(雙向溝通)
提出問(wèn)題:生活中,你見(jiàn)過(guò)線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)嗎?(學(xué)前咨詢(xún))
(由學(xué)生列舉,教師板書(shū),但不急于指明是否準確)(留下疑問(wèn))
指明學(xué)習目標(使學(xué)生明確學(xué)習目標)
1.理解和區別線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)的概念;
2.會(huì )用符號表示線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn);
3.理解公理“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)”。
指明學(xué)習方法:(使學(xué)生作好學(xué)習準備)
作圖、討論(希望同學(xué)們踴躍發(fā)言,提出觀(guān)點(diǎn)和看法)
B.新課探索(任務(wù)操作)
1.請你在紙上用直尺和鉛筆分別作出你心目中的線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn);強化視覺(jué)然后向你的同伴解釋一下哪個(gè)是線(xiàn)段,哪個(gè)是直線(xiàn),哪個(gè)是射線(xiàn)。并且告訴他你根據什么來(lái)區分三者?(描述,解釋)
2.找一對同伴到黑板作圖和解釋根據什么區分三者。(分享,表達)
C.學(xué)習新課(口頭表達、書(shū)面表達)
(一)認識線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)(解說(shuō))
1.線(xiàn)段:圖形,表示方法,實(shí)例,特點(diǎn)。
2.射線(xiàn):圖形,表示方法,實(shí)例,特點(diǎn)。
3.直線(xiàn):圖形,表示方法,實(shí)例,特點(diǎn)。
請你想一想:生活中,還有哪些物體可以近似地看作線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)?
(發(fā)散思維)
請回頭查一查:課前提出的幾個(gè)生活中的實(shí)例是否符合這些定義?(現實(shí)生活中嚴格意義的直線(xiàn)較難看到)(收斂思維)
用表格歸納三者之間的聯(lián)系及表達方式。(由學(xué)生填)(歸納,用圖表強化記憶)
觀(guān)察表格,說(shuō)說(shuō)有哪些值得注意的地方?(由學(xué)生說(shuō))(學(xué)習使用規范的語(yǔ)言)
(寫(xiě)清線(xiàn)的名稱(chēng);直線(xiàn)與線(xiàn)段的表示方法基本相同;射線(xiàn)的端點(diǎn)必須寫(xiě)在前面)
D.自由探索(運用)
1.作圖練習(自由探索,累積經(jīng)驗)
(1)作直線(xiàn)MN,在直線(xiàn)MN上任取一點(diǎn)C;這樣的點(diǎn)可以取多少個(gè)?
(理解直線(xiàn)上有無(wú)數個(gè)點(diǎn))
(2)作線(xiàn)段AB,先延長(cháng)AB,再延長(cháng)BA;線(xiàn)段AB與直線(xiàn)AB是什么關(guān)系?
(理解線(xiàn)段是直線(xiàn)的一部分)
(3)作線(xiàn)段CD,再反向延長(cháng)線(xiàn)段CD;線(xiàn)段CD與射線(xiàn)DC是什么關(guān)系?(理解線(xiàn)段與射線(xiàn)的關(guān)系)
(4)作射線(xiàn)OK,再反向延長(cháng)射線(xiàn)OK。射線(xiàn)OK與直線(xiàn)OK是什么關(guān)系?(理解射線(xiàn)是直線(xiàn)的一部分)
板書(shū):線(xiàn)段,射線(xiàn)都是直線(xiàn)的一部分。(整合“關(guān)系”)
2.作圖說(shuō)話(huà)(再運用)
(1)作直線(xiàn)MN,在直線(xiàn)MN上任取兩點(diǎn)A,B,你在圖中找到了幾條線(xiàn)段?
(因為線(xiàn)段無(wú)方向,所以線(xiàn)段AB就是線(xiàn)段BA)
(2)作直線(xiàn)MN,在直線(xiàn)MN上任取三點(diǎn)A,B,C,你在圖中找到了幾條線(xiàn)段?
(端點(diǎn)不同,線(xiàn)段不同)
(3)在直線(xiàn)MN上任取四點(diǎn)A,B,C,D,你又在圖中找到了幾條線(xiàn)段?
(4)順著(zhù)這個(gè)思路,你能給大家出下一問(wèn)嗎?
(在直線(xiàn)MN上任取n個(gè)點(diǎn),你能找到幾條線(xiàn)段?)
E.小結:線(xiàn)段、射線(xiàn)、直線(xiàn)的概念。(整合)
F.作業(yè):課本132頁(yè)第4題。(再運用)
這個(gè)教學(xué)設計將一個(gè)主題的學(xué)習過(guò)程分成“操作,觀(guān)察,表達,辨析,歸納”五個(gè)流程,充分調動(dòng)學(xué)生的視覺(jué)、語(yǔ)言表達能力,在操作、觀(guān)察、表達和交流活動(dòng)中來(lái)體會(huì )、感受概念之間的關(guān)系。
van Hiele思維層次或許仍有爭議或者有其不完善的方面,但是其提倡從學(xué)生的視覺(jué)、語(yǔ)言表達、動(dòng)手操作、探索概念間的關(guān)系、整合等多角度來(lái)完成幾何教學(xué),使學(xué)生逐步形成概念網(wǎng)絡(luò ),養成“說(shuō)理有據”的態(tài)度和勇于交流討論的精神,體會(huì )到探索幾何概念和性質(zhì)的樂(lè )趣,這對剛入門(mén)學(xué)生幾何學(xué)習的教學(xué)指導意義是不言而喻的,希望這篇論文所提出的建議能給數學(xué)教師以參考,使幾何教學(xué)更加有趣、有效。