小學(xué)五年級“分數的意義”教學(xué)結構研究論文

　　分數，分數單位，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫分數。表示這樣的一份的數叫分數單位。下面是小編為你帶來(lái)的 小學(xué)五年級“分數的意義”教學(xué)結構研究論文，歡迎閱讀。

　　分數是個(gè)復雜的概念，其獲得過(guò)程需要解決許多認知上的矛盾，即便在教學(xué)條件下，小學(xué)生掌握它也需要相當長(cháng)的時(shí)間。因此，分數相關(guān)知識是小學(xué)數學(xué)學(xué)習的難點(diǎn)之一。小學(xué)數學(xué)教材通常以螺旋遞增模式編排這部分內容，在低段開(kāi)始接觸“平均”分物，中段初步認識分數（包括分子、分母、分數線(xiàn)概念以及分數的讀寫(xiě)），到了高段則進(jìn)一步認識分數意義，從將一個(gè)物體平均分發(fā)展到把一群物體平均分。分數意義的教學(xué)也因此成為小學(xué)數學(xué)的一個(gè)重要研究論題。

　　一、對“分數的意義”教學(xué)現實(shí)的追問(wèn)

　　筆者聽(tīng)過(guò)多節五年級“分數的意義”的課，有常態(tài)課，也有觀(guān)摩課，盡管這些課上教師行為、學(xué)生課堂表現有較大差別，但是他們的課堂教學(xué)結構卻大同小異。筆者新近對某小學(xué)五年級數學(xué)教師的教學(xué)計劃決策和課堂交互決策作質(zhì)性研究，以其中的一節“分數的意義”為例，該教師的課堂情況可以大致歸納如下：學(xué)生動(dòng)手操作學(xué)具→用語(yǔ)言（或具體分數）表示結果。即在課堂上，每個(gè)學(xué)生都有一副學(xué)具，有糖果、棋子、圓形紙片和方形紙片等。學(xué)生任意“操作”一個(gè)分數，教師再抽查學(xué)生用語(yǔ)言表述自己分物的過(guò)程和具體分數，比如“我有八個(gè)棋子，把它們平均分成4份，其中的1份占這個(gè)整體的四之一，用表示�！�

　　類(lèi)似這樣的教學(xué)過(guò)程可以圖示如下：

　　圖1 “分數的意義”現實(shí)教學(xué)過(guò)程圖

　　在課前和課后的及時(shí)訪(fǎng)談中我們了解到，教師之所以作出這樣的教學(xué)決策主要基于對教材的認識和解讀。教材（人教版）提供了四條信息（圖2）：（1）言語(yǔ)“你能舉例說(shuō)明的含義嗎？”（2）圓紙片、方紙片和線(xiàn)段圖；（3）香蕉和面包，并附“每根是這把香蕉的”“每份是這盤(pán)面包的”的示范語(yǔ)言；（4）分數意義和單位“1”含義的描述語(yǔ)言。教師由信息（1）（3）（4）決策課堂活動(dòng)的主要形式是學(xué)生動(dòng)手操作并言語(yǔ)表述；由信息（2）和（3）決策學(xué)生的操作活動(dòng)是“分實(shí)物”。也就是說(shuō)，教師從上述信息中作出了兩個(gè)推理和決策，一是視紙片和面包為起到等同作用的實(shí)物；二是視言語(yǔ)表述為分數意義學(xué)習的唯一路徑。于是，便產(chǎn)生了圖1所示的教學(xué)過(guò)程。

　　基于這種現實(shí)教學(xué)中并不鮮見(jiàn)的現象，通過(guò)對教材資源進(jìn)行深度挖掘，并對信息的意義及信息之間的關(guān)系進(jìn)行深度剖析，我們不禁要追問(wèn)：紙片與面包完全等同嗎？分數意義學(xué)習只有“分實(shí)物→言語(yǔ)表述”的單一走向嗎？

　　二、分數意義教學(xué)中的紙片：由實(shí)物走向模式

　　對問(wèn)題“紙片與面包是否完全等同”，在了解關(guān)于分數及其意義的一些基本原理后便可明確作答。

　�。ㄒ唬┍磉_“部分與整體關(guān)系”意義的模式

　　我們知道，分數的重要意義之一就是表示了“部分與整體的關(guān)系”，這個(gè)看似簡(jiǎn)單的命題，我們的孩子實(shí)際上很難達成認識和理解。除了分數本身比較抽象外，更主要的原因在于教師沒(méi)有明確引導學(xué)生建立一些能更形象、更全面說(shuō)明分數意義的模式。

　　關(guān)于“部分與整體關(guān)系”意義的模式有四個(gè)渠道可以建立：范圍、長(cháng)度、集合和面積。范圍模式對兒童來(lái)說(shuō)是最具體也最容易操作的，整體（單位“1”）是一個(gè)范圍，而部分是大小與形狀的疊合。教師們通常采用這個(gè)模式進(jìn)行分數學(xué)習的后續講解，教師們最常用到的范圍模式有圓形和矩形，其實(shí)三角形也是一個(gè)不錯的選擇：

　　圖3 “部分與整體關(guān)系”之范圍模式圖例

　　但是，它們各自有些特點(diǎn)需要注意。圓形模式便于兒童發(fā)現整體卻對部分較難理解，矩形模式易于兒童理解部分卻難于理解整體，而三角形模式兩方面都比較困難。

　　集合模式則用一個(gè)集合作為整體，如圖4所示：

　　圖4 “部分與整體關(guān)系”之集合模式圖例

　　集合模式對于兒童理解分數有一定困難，因為他們連分實(shí)物都會(huì )產(chǎn)生一些困難，何況這種抽象的模式。不過(guò)，教師可以通過(guò)操作實(shí)物滲透集合均分的思想，也可以滲透一個(gè)整體中可以包含不同類(lèi)別的物體的意義，比如教師可以在提供的學(xué)具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教師不準備這樣做，自己也應該很清楚這一點(diǎn)，因為教師對分數意義全面、完整的理解對學(xué)生建構分數的意義具有重要作用。

　　線(xiàn)段圖屬于長(cháng)度模式，小學(xué)生比較熟悉，也比較容易理解。面積模式包含了范圍模式所涉及的情況，這個(gè)模式適合于較大兒童（四年級及其以上），圖5可以幫助孩子更好地理解這類(lèi)模式。

　　圖5 “部分與整體關(guān)系”之面積模式圖例

　　由上可知，分數表達了“部分與整體的關(guān)系”，而范圍、長(cháng)度、集合和面積則把這種關(guān)系和意義模式化，使孩子們對分數意義的理解更直觀(guān)、漸進(jìn)和全面。進(jìn)一步地，如果能夠意識、找到并恰當運用這些模式，我們的教學(xué)也許會(huì )更有效。

　　(二)教材中具有“模式”功能的信息源

　　那么，教材中是哪些信息在提示我們要構建并運用模式作為學(xué)生認識和理解分數意義的橋梁呢?

　　我們回到圖2，結合上述的分析便不難理解，教材中呈現的線(xiàn)段圖、圓紙片和方紙片，特別是紙片，除了是實(shí)物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。線(xiàn)段圖屬于長(cháng)度模式，圓紙片和方紙片既屬于范圍模式也屬于面積模式。如此的話(huà)，教材中的信息源除了“分實(shí)物”“言語(yǔ)表述”和“符號”外，又多了一個(gè)元素，即“模式”。

　　相對于以往對教材中紙片的認識，通過(guò)今天的討論，紙片便“返璞歸真”，兼具實(shí)物與模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教學(xué)的意蘊。通過(guò)對“分數的意義”教材的重新解讀，紙片實(shí)現了由實(shí)物走向模式的角色轉換，并將因此給“分數的意義”的教學(xué)帶來(lái)新的生機和活力。

　　三、構建“模式主導，雙向多維”的教學(xué)結構

　　(一)模式的核心地位

　　在教材所呈現的四個(gè)元素，即實(shí)物、模式、言語(yǔ)和符號中，模式是聯(lián)結其余三個(gè)元素的橋梁。

　　首先，紙片是面包、香蕉等實(shí)物平均分的模式化。模式是實(shí)物操作的數學(xué)轉化，從實(shí)物走向模式是學(xué)生經(jīng)歷數學(xué)思維抽象、歸納并建立邏輯關(guān)系結構的`過(guò)程，是數學(xué)化的過(guò)程，即模式化的過(guò)程就是數學(xué)化的過(guò)程。弗賴(lài)登塔爾說(shuō)“沒(méi)有數學(xué)化就沒(méi)有數學(xué)”，真正的數學(xué)知識應當是關(guān)于抽象的數學(xué)對象的研究，而并非對于真實(shí)事物或現象量性屬性的直接研究。所謂數學(xué)是模式的科學(xué)，由實(shí)物操作走向模式走出了數學(xué)味。

　　其次，模式與符號和言語(yǔ)之間分別建立了雙向邏輯關(guān)系，即模式?圮符號、模式?圮言語(yǔ)、符號?圮言語(yǔ)(經(jīng)模式表象)。這樣的關(guān)系可圖示如下：

　　在上述圖形中，模式元處于中心地位。模式由實(shí)物操作數學(xué)化而來(lái)，形成“分數意義”抽象的研究對象，并為分數意義的學(xué)習提供直觀(guān)材料和意義建構的載體。例如，平均分香蕉為4份(實(shí)物操作)，將該過(guò)程模式化為平均分成4份的長(cháng)方形紙片，該模式與符號、言語(yǔ)“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整體的四分之一”形成雙向邏輯關(guān)系，而符號與言語(yǔ)之間經(jīng)由長(cháng)方形紙片模式建立了雙向邏輯關(guān)系。這里提到的雙向邏輯關(guān)系在后面的探討中，將更詳細地予以解釋。

　　據此，通過(guò)分析教材、提取信息→解讀信息背后的含義→建構信息之間的關(guān)系等步驟，紙片的“模式”功能在上述關(guān)系圖中的核心地位凸顯出來(lái)，它不僅能使分數意義的教學(xué)活動(dòng)的數學(xué)味更加顯現，也能使該教學(xué)過(guò)程顯得立體多元。

　　(二)“模式主導，雙向多維”教學(xué)結構的操作要義

　　如果把上面對模式、符號、言語(yǔ)、實(shí)物之間的關(guān)系的分析和探討相應地進(jìn)行教學(xué)過(guò)程化，那么，“模式主導，雙向多維”的教學(xué)結構便水到渠成。如圖6：

　　圖6“分數意義”之“模式主導，雙向多維”教學(xué)結構示意圖

　　把這樣的雙向關(guān)系轉化為相應的分數意義的學(xué)習活動(dòng)，則至少有六種路徑：

　　(1)由模式寫(xiě)符號；(2)由符號選模式；(3)根據符號進(jìn)行言語(yǔ)表述(借助模式表象)；(4)由表述寫(xiě)符號(借助模式表象)；(5)根據模式進(jìn)行言語(yǔ)表達分實(shí)物的過(guò)程(結合符號)；(6)言語(yǔ)表達分實(shí)物過(guò)程后再選模式或畫(huà)模式。

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　　其中，(1)與(2)，(3)與(4)，(5)與(6)，是三組互逆的學(xué)習過(guò)程，能夠培養學(xué)生的逆向思維，進(jìn)而使傳統教育中所忽視的發(fā)散思維能力得到很好的培養，從而促進(jìn)學(xué)生創(chuàng )造性思維的養成。而實(shí)物操作到模式的數學(xué)化過(guò)程則是分數意義學(xué)習的邏輯起點(diǎn)。

　　以上解析了分數意義的學(xué)習過(guò)程，對于教師而言，“模式主導，雙向多維”教學(xué)結構的操作要義如下。

　　要義一：(1)創(chuàng )設情境，引導學(xué)生經(jīng)歷由實(shí)物操作走向模式的數學(xué)化過(guò)程；(2)給模式寫(xiě)符號，同時(shí)給符號選模式；(3)借助模式表象，給符號進(jìn)行言語(yǔ)表述，同時(shí)給表述寫(xiě)符號；(4)給模式，兒童言語(yǔ)表達分實(shí)物的過(guò)程，同時(shí)兒童言語(yǔ)表達分實(shí)物的過(guò)程后再選模式或畫(huà)模式。

　　要義二：(1)分實(shí)物后引導學(xué)生經(jīng)歷實(shí)物操作到模式的數學(xué)化過(guò)程，然后寫(xiě)出分數符號；同時(shí)，先給出符號由學(xué)生選模式，然后再表述分實(shí)物的過(guò)程；(2)給符號后要求學(xué)生言語(yǔ)表達(或畫(huà))模式，再依此描述分實(shí)物的過(guò)程；同時(shí)，言語(yǔ)表述模式后，描述分實(shí)物的過(guò)程，再寫(xiě)出符號。

　　前者將實(shí)物操作到模式的數學(xué)化過(guò)程相對獨立化，后者則將該過(guò)程糅合于各個(gè)雙向的邏輯關(guān)系之中。

　　(三)兩種教學(xué)結構的比較

　　圖1和圖6分別基于教學(xué)現實(shí)和理論分析勾勒出兩類(lèi)小學(xué)五年級“分數的意義”的教學(xué)結構，即“分數的意義”現實(shí)教學(xué)過(guò)程和“模式主導，雙向多維”的教學(xué)過(guò)程。前者呈現斷裂性和單向性的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習分數意義的活動(dòng)斷裂進(jìn)行(分實(shí)物→言語(yǔ)表述符號或分實(shí)物→言語(yǔ)表述分物過(guò)程)，跨越了“實(shí)物到模式”的數學(xué)化的過(guò)程，并構建了“實(shí)物到言語(yǔ)”的單向學(xué)習活動(dòng)，使整個(gè)學(xué)習活動(dòng)顯得單一和斷裂，不利于學(xué)生全面、深刻地理解分數的意義，不利于學(xué)生體悟和積累數學(xué)化的數學(xué)經(jīng)驗，其根本是不利于學(xué)生數學(xué)思維的發(fā)展。逆向思維是發(fā)散思維的一種重要形式，發(fā)散思維又是創(chuàng )造性思維的基礎。所以歸根結底是不利于學(xué)生創(chuàng )造性思維的培養。

　　后者呈現多維性和雙向性的特點(diǎn)，模式元素是整個(gè)結構的核心，各個(gè)元素之間的關(guān)系是雙向互動(dòng)的關(guān)系，從多個(gè)維度(實(shí)物→模式?圮符號、實(shí)物→模式?圮言語(yǔ)或實(shí)物→模式、模式?圮符號?圮言語(yǔ)等維度)實(shí)現學(xué)生對分數意義的全面理解，有利于學(xué)生積累豐富的數學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗，更有利于學(xué)生數學(xué)思維、創(chuàng )造性思維的良好發(fā)展，為學(xué)生未來(lái)的數學(xué)學(xué)習生活注入活力。

　　調研中有教師說(shuō)，在一次小學(xué)數學(xué)畢業(yè)會(huì )考中，有一道題目是要求學(xué)生根據給出的分數在給出的方格圖中用陰影表示出來(lái)(即給出符號選擇模式)，絕大多數學(xué)生沒(méi)有做出來(lái)。這實(shí)際上就是在教學(xué)中沒(méi)有注意到“模式主導，雙向多維”的教學(xué)模式所致。

　　四、“模式主導，雙向多維”教學(xué)結構的教學(xué)意義

　　我們歸結分數意義的教學(xué)結構，并非僅僅追求外在教學(xué)形式的簡(jiǎn)單改變，意在深入挖掘其內蘊的教學(xué)意義，使教學(xué)形式的改變由內至外而發(fā)生，而非外力強加的、缺乏靈魂的生硬動(dòng)作。

　　“模式主導，雙向多維”的分數意義的教學(xué)，其內涵的意義至少有以下兩點(diǎn)。(1)數學(xué)化是數學(xué)學(xué)習的邏輯起點(diǎn)。數學(xué)的研究對象是從現實(shí)事件中抽象出來(lái)的模式，而不是現實(shí)事件本身。從現實(shí)事件抽象出模式的過(guò)程，是數學(xué)化的過(guò)程。(2)數學(xué)學(xué)習過(guò)程是各路徑雙向互動(dòng)、多路徑融會(huì )貫通的有機整體。數學(xué)學(xué)習過(guò)程是多路徑交錯的動(dòng)態(tài)過(guò)程，各路徑相對獨立，又整體關(guān)聯(lián)，相互依存。獨立的路徑雙向互動(dòng)，并非單一走向；關(guān)聯(lián)的路徑融會(huì )貫通，以一定的模式相互整合，構成數學(xué)知識意義生成的有機載體。

　　上述教學(xué)意義的提煉，期望有助于教師更有效地教學(xué)“分數的意義”，進(jìn)一步地，能把這些教學(xué)意義合理遷移到其他的數學(xué)教學(xué)領(lǐng)域。