高一數學(xué)必修3映射教案
高一數學(xué)必修3映射教案
教學(xué)目標
1．了解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．
�。�1）明確映射是特殊的對應即由集合 ，集合 和對應法則f三者構成的一個(gè)整體，知道映射的特殊之處在于必須是多對一和一對一的對應；
�。�2）能準確使用數學(xué)符號表示映射， 把握映射與一一映射的區別；
�。�3）會(huì )求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法．
2．在概念形成過(guò)程中，培養學(xué)生的觀(guān)察，比較和歸納的能力．
3．通過(guò)映射概念的學(xué)習，逐步提高學(xué)生對知識的探究能力．
教學(xué)建議
教材分析
�。�1）知識結構
映射是一種特殊的對應，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數也是特殊的映射，它們之間的關(guān)系可以通過(guò)下圖表示出來(lái)，如圖：
由此我們可從集合的包含關(guān)系中幫助我們把握相關(guān)概念間的區別與聯(lián)系．
�。�2）重點(diǎn)，難點(diǎn)分析
本節的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)是映射和一一映射概念的形成與認識．
�、儆成涞母拍钍潜容^抽象的概念，它是在初中所學(xué)對應的基礎上發(fā)展而來(lái)．教學(xué)中應特別強調對應集合 中的唯一這點(diǎn)要求的理解；
映射是學(xué)生在初中所學(xué)的對應的基礎上學(xué)習的，對應本身就是由三部分構成的整體，包括集 合A和集合B及對應法則f，由于法則的不同，對應可分為一對一，多對一，一對多和多對多． 其中只有一對一和多對一的能構成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應，所以滿(mǎn)足一對一和多對一的對應就能體現出“任一對唯一”．
�、诙灰挥成溆衷谟成涞幕A上增加新的要求，決定了它在學(xué)習中是比較困難的．
教法建議
牐牐1）在映射概念引入時(shí)，可先從學(xué)生熟悉的對應入手， 選擇一些具體的生活例子，然后再舉一些數學(xué)例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學(xué)生認真觀(guān)察，比較，再引導學(xué)生發(fā)現其中一對一和多對一的對應是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學(xué)生的認識從感性認識到理性認識．
�。�2）在剛開(kāi)始學(xué)習映射時(shí)，為了能讓學(xué)生看清映射的構成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用語(yǔ)言描述，這樣的表示方法讓學(xué)生可以比較直觀(guān)的認識映射，而后再選擇用抽象的數學(xué)符號表示映射，比如：
， ．
這種表示方法比較簡(jiǎn)明，抽象，且能看到三者之間的關(guān)系．除此之外，映射的一般表示方法為 ，從這個(gè)符號中也能看到映射是由三部分構成的整體，這對后面認識函數是三件事構成的整體是非常有幫助的．
�。�3）對于學(xué)生層次較高的學(xué)�？梢栽诮o出定義后讓學(xué)生根據自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學(xué)生從中發(fā)現映射的特點(diǎn)，并用自己的語(yǔ)言描述出來(lái)，最后教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對于學(xué)生層次較低的學(xué)校，則可以由教師給出一些例子讓學(xué)生觀(guān)察，教師引導學(xué)生發(fā)現映射的特點(diǎn)，一起概括．最后再讓學(xué)生舉例，并逐步增加要求向一一映射靠攏， 引出一一映射概念．
�。�4）關(guān)于求象和原象的問(wèn)題，應在計算的過(guò)程中總結方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過(guò)方程組解的不同情況（有唯一解，無(wú)解或有無(wú)數解）加深對映射的認識．
�。�5）在教學(xué)方法上可以采用啟發(fā)，討論的形式，讓學(xué)生在實(shí)例中去觀(guān)察，比較，啟發(fā)學(xué)生尋找共性，共同討論映射的特點(diǎn)，共同舉例，計算，最后進(jìn)行小結，教師要起到點(diǎn)撥和深化的作用．
教學(xué)設計方案
2。1 映射
教學(xué)目標（1）了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．
�。�2）在概念形成過(guò)程中，培養學(xué)生的觀(guān)察，分析對比，歸納的能力．
�。�3）通過(guò)映射概念的學(xué)習，逐步提高學(xué)生的探究能力．
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：：映射概念的形成與認識．
教學(xué)用具：實(shí)物投影儀
教學(xué)方法：
數學(xué)教案－映射，標簽：高一數學(xué)必修3教案，高一數學(xué)必修1教案，
啟發(fā)討論式
教學(xué)過(guò)程（）：
一、引入
在初中，我們已經(jīng)初步探討了函數的定義并研究了幾類(lèi)簡(jiǎn)單的常見(jiàn)函數．在高中，將利用前面集合有關(guān)知識，利用映射的觀(guān)點(diǎn)給出函數的定義．那么映射是什么呢？這就是我們今天要詳細的概念．
二、新課
在前一章集合的初步知識中，我們學(xué)習了元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系，而映射是重點(diǎn)研究?jì)蓚�(gè)集合的元素與元素之間的對應關(guān)系．這要先從我們熟悉的對應說(shuō)起（用投影儀打出一些對應關(guān)系，共6個(gè)）
我們今天要研究的是一類(lèi)特殊的對應，特殊在什么地方呢？
提問(wèn)1：在這些對應中有哪些是讓A中元素就對應B中唯一一個(gè)元素？
讓學(xué)生仔細觀(guān)察后由學(xué)生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細說(shuō)明理由進(jìn)行討論．最后得出（1），（2），（5），（6）是符合條件的（用投影儀將這幾個(gè)集中在一起）
提問(wèn)2：能用自己的語(yǔ)言描述一下這幾個(gè)對應的共性嗎？
經(jīng)過(guò)師生共同推敲，將映射的定義引出．（主體內容由學(xué)生完成，教師做必要的補充）
�。ò鍟�(shū)）
一．映射
1．定義：一般地，設 兩個(gè)集合，如果按照某種對應法則 ，對于集合 中的任何一個(gè)元素，在集合 中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合 及 到 的對應法則）叫做集合 到集合 的映射，記作 ．
定義給出之后，教師應及時(shí)強調映射是特殊的對應，故是三部分構成的一個(gè)整體，從映射的符號表示中也可看出這一點(diǎn)，它的特殊之處在于元素與元素之間的對應必須作到“任一對唯一”，同時(shí)指出具有對應關(guān)系的元素即 中元素 對應 中元素 ，則 叫 的象， 叫 的原象．
�。ò鍟�(shū)）
2．象與原象
可以用前面的例子具體說(shuō)明誰(shuí)是誰(shuí)的象，誰(shuí)是誰(shuí)的原象．
提問(wèn)3：下面請同學(xué)根據自己對映射的理解舉幾個(gè)映射的例子，看對映射是否真正認識了．
�。ㄩ_(kāi)始時(shí)只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是無(wú)限集，或生活中的例子等）由學(xué)生自己評判．之后教師再給出幾個(gè)（主要是補充學(xué)生舉例類(lèi)型的不足）
�。�1） ， ， ， ．
�。�2） ．
�。�3） 除以3的余數．
�。�4） {高一1班同學(xué)}， {入學(xué)是數學(xué)考試成績(jì)}， 對自己的考試成績(jì)．
在學(xué)生作出判斷之后，引導學(xué)生發(fā)現映射的性質(zhì)（教師適當提出研究方向由學(xué)生說(shuō)，再由老師概括）
�。ò鍟�(shū)）3．對概念的認識
�。�1） 與 是不同的，即 與 上有序的．
�。�2）象的集合是集合B的子集．
�。�3）集合A，B可以是數集，也可以是點(diǎn)集或其它集合．
在剛才研究的基礎上，教師再提出（2）和（4）有什么共性，能否把它描述出來(lái)，如果學(xué)生不能找出共性，教師可再給出幾個(gè)例子，（用投影儀打出）
如：
�。�1）
�。�2） {數軸上的點(diǎn)}， 實(shí)數與數軸上相應的點(diǎn)對應．
�。�3） {中國，日本，韓國}， {北京，東京，漢城}， 相應國家的首都．
引導學(xué)生在元素之間的對應關(guān)系和元素個(gè)數上找共性，由學(xué)生提出兩點(diǎn)共性集合A中不同的元素對集合B中不同的元素；②B中所有元素都有原象．
那么滿(mǎn)足以上條件的映射又是一種特殊的映射，稱(chēng)之為一一映射．
�。ò鍟�(shū)）4．一一映射
�。�1）定義：設A，B是兩個(gè)集合， 是集合A到集合B的映射，如果在這個(gè)映射下 對于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一個(gè)元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做A到B上的一一映射．
給出定義后，可再返回到剛才的例子，讓學(xué)生比較它與映射的區別，從而進(jìn)一步明確“一一”的含義．然后再安排一個(gè)例題．
例1 下列各表表示集合A（元素a）到集合B（元素b）的一個(gè)映射，判斷這些映射是不是A到B上的一一映射．
其中只有第三個(gè)表可以表示一一映射，由此例點(diǎn)明一一映射的特點(diǎn)
數學(xué)教案－映射，標簽：高一數學(xué)必修3教案，高一數學(xué)必修1教案，
�。ò鍟�(shū)）（2）特點(diǎn)：兩個(gè)集合間元素是一對一的關(guān)系，不同的對的也一定是不同的（元素個(gè)數相同）；集合B與象集C是相等的集合．
對于映射我們現在了解了它的定義及特殊的映射一一映射，除此之外對于映射還要求能求出指定元素的象與原象．
�。ò鍟�(shū)）5．求象與原象．
例2 （1）從R到 的映射 ，則R中的—1在 中的象是_____； 中的4在R中的原象是_____．
�。�2）在給定的映射 下，則點(diǎn) 在 下的象是_____， 點(diǎn) 在 下的原象是______．
�。�3） 是集合A到集合B的映射， ，則A 中 元素 的象是_____，B中象0的原象是______， B中象—6的原象是______．
由學(xué)生先回答第（1）小題，之后讓學(xué)生自己總結一下，應用什么方法求象和原象，學(xué)生找到方法后，再在方法的指導下求解另外兩題，若出現問(wèn)題，教師予以點(diǎn)評，最后小結求象用代入法，求原象用解方程或解方程組．
注意：所解的方程解的情況可能有多種如有唯一解，也可能無(wú)解，可能有無(wú)數解，這與映射的定義也是相吻合的．但如果是一一映射，則方程一定有唯一解．
三、小結
1．映射是特殊的對應
2．一一映射是特殊的映射．
3．掌握求象與原象的方法．
四、作業(yè)：略
五、板書(shū)設計
探究活動(dòng)
�。�1） {整數}， {偶數}， ，試問(wèn) 與 中的元素個(gè)數哪個(gè)多？為什么？如果我們建立一個(gè)由 到 的映射對應法則 乘以2，那么這個(gè)映射是一一映射嗎？
答案：兩個(gè)集合中的元素一樣多，它們之間可以形成一一映射．
�。�2）設 ， ，問(wèn)最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射？若將集合 改為 呢？結論是什么？如果將集合 改為 ，結論怎樣？若集合 改為 ， 改為 ，結論怎樣？
從以上問(wèn)題中，你能歸納出什么結論嗎？依此結論，若集合A中含有 個(gè)元素，集合B中含有 個(gè)元素，那么最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射？
答案：若集合A含有m個(gè)元素，集合B含有n個(gè)元素，則不同的映射 有 個(gè)．
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