數學(xué)《方差》精品教案設計
數學(xué)《方差》精品教案設計
教學(xué)設計示例1
第一課時(shí)
素質(zhì)教育目標
�。ㄒ唬┲R教學(xué)點(diǎn)
使學(xué)生了解方差、標準差的意義，會(huì )計算一組數據的方差與標準差.
�。ǘ┠芰τ柧汓c(diǎn)
1．培養學(xué)生的計算能力.
2．培養學(xué)生觀(guān)察問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力，培養學(xué)生的發(fā)散思維能力.
�。ㄈ┑掠凉B透點(diǎn)
1．培養學(xué)生認真、耐心、細致的學(xué)習態(tài)度和學(xué)習習慣.
2．滲透數學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)作用于實(shí)踐的觀(guān)點(diǎn).
�。ㄋ模┟烙凉B透點(diǎn)
通過(guò)本節課的教學(xué)，滲透了數學(xué)知識的抽象美及反映在圖像上的形象美，激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求，岣哐?STRONG>數學(xué)美的鑒賞力.
重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1．教學(xué)重點(diǎn)：方差概念.
2．教學(xué)難點(diǎn)：方差概念.
3．教學(xué)疑點(diǎn)：學(xué)生不易理解為什么要用方差去描述一組數據的波動(dòng)大小，為什么不可以用各數據與其平均數的差的來(lái)和來(lái)衡量這組數據的波動(dòng)大小呢？為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而將其平方呢？對這些問(wèn)題教師在剖析方差定義時(shí)要講清楚.
4．解決辦法：教師要講清方差，標準差的意義，即它們都是用來(lái)描述一組數據波動(dòng)情況的特征數，常用來(lái)比較兩組數據的波動(dòng)大小，我們所研究的僅是這兩組數據的個(gè)數相等，平均數相等或比較接近時(shí)的情況.
教學(xué)步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標
前面我們學(xué)習了平均數、眾數及中位數，它們都是描述一組數據的集中趨勢的量，這節課我們將進(jìn)一步學(xué)習衡量樣本（或一組數據）和總體的另一類(lèi)特征數——方差、標準差及其計算.
這種開(kāi)門(mén)見(jiàn)山式引入課題，能迅速將學(xué)生的注意力集中起來(lái)，進(jìn)入新課講解.
�。ǘ┱w感知
對于一組數據來(lái)說(shuō)，我們除了關(guān)心它的集中趨勢以外，還關(guān)心它的波動(dòng)大小.衡量這個(gè)波動(dòng)大小的最常用的特征數，就是方差和標準差.
�。ㄈ�教學(xué)過(guò)程（）
1．請同學(xué)們看下面的問(wèn)題：（用幻燈出示）
兩臺機床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件，為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中各抽出10件進(jìn)行測量，結果如下（單位：毫米）
機床甲
40
39．8
40．1
40．2
39．9
40
40．2
39．8
40．2
39．8
機床乙
40
40
39．9
40
39．9
40．2
40
40．1
40
39．9
上面表中的數據如圖所示
教師引導學(xué)生觀(guān)察表格中的數據和圖，提出問(wèn)題：怎樣能說(shuō)明在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規定方面，哪個(gè)機床做得好呢？
對于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生會(huì )馬上想到計算它們的平均數．教師可把學(xué)生分成兩級分別計算這兩組數據的平均數．（請兩名同學(xué)到黑板計算）
計算的結果說(shuō)明兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米．這時(shí)教師引導學(xué)生思考，這能說(shuō)明兩個(gè)機床做的一樣好嗎？不能！我們再觀(guān)察上圖（給學(xué)生充分的時(shí)間觀(guān)察，找出左右兩圖的區別）從圖中看到，機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規定尺寸偏差較大，偏離40毫米線(xiàn)較多；機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規定尺寸偏差較小，比較集中在40毫米線(xiàn)的附近．這
說(shuō)明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好．
教師說(shuō)明：從上面看到，對于一組數據，除需要了解它們的平均水平外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大�。雌x平均數的大�。�
通過(guò)引例的學(xué)習，使學(xué)生理解為什么要研究數據波動(dòng)的大小，為提出方差概念做好了準
備．
2．方差概念
教師講解，為了描述一組數據的波動(dòng)大小，可以采用不止一種辦法，例如，可以先求得各個(gè)數據與這組數據的平均數的差的絕對值，再取其平均數，用這個(gè)平均數來(lái)衡量這組數據的波動(dòng)大小，通常，采用的是下面的做法：
設在一組數據 中，各數據與它們的平均數 的差的平方分別是 ，那么我們用它們的平均數，即用
�、�
來(lái)衡量這組數據的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數據的方差．一組數據方差越大，說(shuō)明這組數據波動(dòng)越大．教師要剖析公式中每一個(gè)元素的意義，以便學(xué)生理解和掌握．
在學(xué)生理解方差概念時(shí)，可能會(huì )提出疑問(wèn)：為什么要這樣定義方差？（教師說(shuō)明，在表示各數據與其平均數的倔離程度時(shí)，為了防止正偏差與負偏差的相互抵消）為什么對各數據與其平均數的差不取其絕對值，而要將它們平方？（教師說(shuō)明，這主要是因為在很多問(wèn)題里，含有絕對值的式子不便于運算，且在衡量一組數據波動(dòng)大小的“功能”上，方差更強些）為什么要除以數據個(gè)數n？（是為了消除數據個(gè)數的影響）．
在學(xué)生理解了方差概念之后，再回到了引例中，通過(guò)計算機床甲、乙兩組數據的方差，再根據理論說(shuō)明哪個(gè)機床做得更好．
教師范解
從 知道，機床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動(dòng)要大.
這樣做使學(xué)生深刻體會(huì )到數學(xué)來(lái)源于實(shí)踐，又反過(guò)來(lái)作用實(shí)踐，不僅使學(xué)生對學(xué)習數學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣，而且培養了學(xué)生應用數學(xué)的意識.
3．例1 （用幻燈出示）已知兩組數據：
甲：9.9 10.3 9.8 10.1 10.4 10 9.8 9.7
乙：10.2 10 9.5 10.3 10.5 9.6 9.8 10.1
分別計算這兩組數據的方差.
讓學(xué)生自己動(dòng)手計算，求平均數時(shí)激發(fā)學(xué)生用簡(jiǎn)化公式計算，找一名好學(xué)生到黑板計算.
解：根據公式②（取 ），有
從 知道，乙組數據比甲組數據波動(dòng)大.
4．標準差概念
在有些情況下，需要用到方差的算術(shù)平方根
�、�
并把它叫做這組數據的標準差.它也是一個(gè)用來(lái)衡量一組數據的波動(dòng)大小的重要的量.
教師引導學(xué)生分析方差與標準差的區別與聯(lián)系：
計算標準差要比計算方差多開(kāi)一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時(shí)用它比較方便.
課堂練習 教材P165中（1）、（2）
�。ㄋ模┛偨Y、擴展
知識小結：通過(guò)這節課的學(xué)習，使我們知道了對于一組數據，有時(shí)只知道它的平均數還不夠，還需要知道它的波動(dòng)大��；而描述一組數據的波動(dòng)大小的量不止一種，最常用的是方差和標準差.方差與標準差這兩個(gè)概念既有聯(lián)系又有區別.
方法小結：求一組數據方差的方法；先求平均數，再利用③求方差，求一組數據標準差的方法：先求這組數據的方差，然后再求方差的算術(shù)平方根.
布置作業(yè)
教材P173中1，2（1）（2）
板書(shū)設計
14．3 方差（一）
方差公式③ 引例 例1
標準差公式④
教學(xué)設計示例2
一、教學(xué)目的
1．使學(xué)生了解方差、標準差的意義，會(huì )計算一組數據的方差與標準差．
2．使學(xué)生了解樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義．
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：方差、標準差、樣本方差、樣本標準差、總體方差的意義．
難點(diǎn)：樣本方差、樣本標準差的計算．
三、教學(xué)過(guò)程（）
復習提問(wèn)
計算一組數據的平均數有哪些方法？
引入新課
在很多實(shí)際問(wèn)題中，只知道一組數據的平均數是不夠的，還需要知道這組數據的波動(dòng)大�。绾瘟私鈹祿牟▌�(dòng)大��？這正是我們要解決的問(wèn)題．
新課
引例 兩臺機床同時(shí)生產(chǎn)直徑是40毫米的零件．為了檢驗產(chǎn)品質(zhì)量，從產(chǎn)品中抽出10件進(jìn)行測量，結果如下(單位：毫米)：
表中數據表成如下形式：
可在此處讓學(xué)生用公式②分別計算這兩組數據的平均數(還可提問(wèn)學(xué)生a取什么值最好，這樣學(xué)生能在教師的啟發(fā)下得到a=40最合適)．當學(xué)生算出如下平均數：
讓學(xué)生思考，兩組數據的平均數都等于規定尺寸40毫米時(shí)，甲、乙兩機床性能是否都一樣好？提出問(wèn)題讓學(xué)生議議后，再引導學(xué)生看圖1，讓學(xué)生認識到“機床甲生產(chǎn)的零件的直徑與規定尺寸編差較大，偏離40毫米線(xiàn)較多；機床乙生產(chǎn)的零件的直徑與規定尺寸的偏差較小，比較集中在40毫米線(xiàn)的附近．”這說(shuō)明，在使所生產(chǎn)的10個(gè)零件的直徑符合規定方面，機床乙比機床甲要好．
這反映出，對一組數據，除需要了解它們的平均水平以外，還常常需要了解它們的波動(dòng)大小(即偏離平均數的大小)．
在此處要告訴學(xué)生：描述一組數據的波動(dòng)大小，可以采用不止一種辦法．本課介紹“方差”即是一種方法．即：
來(lái)衡量這組數據的波動(dòng)大小，并把它叫做這組數據的方差．
要強調“一組數據方差越大，說(shuō)明這組數據波動(dòng)越大”．條件許可時(shí)，還可介紹③式可表示為：
接下來(lái)可以請兩個(gè)學(xué)生計算引例中機床甲、乙兩組數據的方差．
從0.026＞0.008可以比較出，機床甲生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑比機床乙生產(chǎn)的10個(gè)零件直徑波動(dòng)要大．(接下來(lái)教師再給出如下例題．)
例1 已知兩組數據：
分別計算這兩組數據的方差．
講此例后，要強調求解步驟為：
(1)求平均數；(2)求方差；(3)比較方差得出結論．
此后接前面問(wèn)題說(shuō)，用來(lái)衡量一組數據的波動(dòng)的方法還可用一組數據的標準差，即
公式④(即標準差)也是用來(lái)衡量一組數據波動(dòng)大小的重要的量．
在本節引例中，兩組數據的標準差，可讓學(xué)生算一下，得出：
說(shuō)明：計算標準差要比計算方差多開(kāi)一次平方，但它的度量單位與原數據一致，有時(shí)用它比較方便．
小結
1．本課學(xué)了計算一組數據的方差的公式③．
2．本課在方差的基礎上又學(xué)了計算一組數據的標準差的公式④．
練習：選用課本練習題．
作業(yè)：選用課本習題．
四、教學(xué)注意問(wèn)題
要注意通過(guò)例題講好求方差題目的解題格式．
教學(xué)設計示例3
一、教學(xué)目的
1．使學(xué)生進(jìn)一步理解方差、標準差的意義．
2．使學(xué)生掌握利用簡(jiǎn)化公式計算一組數據的方差的方法．
3．使學(xué)生會(huì )根據同類(lèi)問(wèn)題兩組數據的方差(或標準差)比較兩組數據的波動(dòng)情況．
二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：簡(jiǎn)化計算一組數據的方差公式．
難點(diǎn)：利用方差(或標準差)比較兩組數據的波動(dòng)情況．
三、教學(xué)過(guò)程（）
復習提問(wèn)
1．什么是一組數據的方差、標準差？
2．一組數據的方差和標準差應如何計算？
引入新課
我們看到，用公式③計算一組數據的方差比較麻煩．那么，有否較簡(jiǎn)便的計算方法呢？
新課
教師應在黑板上進(jìn)行如下推導：
推導上述公式后，可讓學(xué)生仿①～④四個(gè)公式的方法歸納推理出如下結論：
一般地，如果一組數據的個(gè)數是n，那么它們的方差可以用下面的公式計算：
在這時(shí)，教師要強調：當一組數據中的數較小時(shí)，用公式⑤計算方差比公式③計算少了求各數據與平均數的差一步，因此比較方便．
例2 計算下面數據的方差(結果保留到小數點(diǎn)后第1位)：
3 -1 2 1 -3 3
教師可讓學(xué)生共同來(lái)完成此例．
接下來(lái)教師按教材指出，當一組數據較大時(shí)，可按下述公式計算方差：
其中x1=x1-a，x2=x2-a，…，xn=xn-a，x1，x2，…，xn是原已知的n個(gè)數據，a是接近這組數據的平均數的一個(gè)常數．
為使學(xué)生對公式⑥加深印象，可讓學(xué)生用公式⑥解下例．
例3 甲、乙兩個(gè)小組各10名學(xué)生的英語(yǔ)口語(yǔ)測驗成績(jì)如下(單位：分)：
哪個(gè)小組學(xué)生的成績(jì)比較整齊？
解后，指出解題步驟有如下三步：
(3)代入公式⑥計算方差并比較得解．
小結
1．本課介紹了當一組數據中的數值較小時(shí)，用以計算方差的簡(jiǎn)化計算公式⑤．
2．本課又學(xué)習了當一組數據中的數值較大時(shí)，用以計算方差的簡(jiǎn)化公式⑥．
練習：選用課本練習題．
作業(yè)：選用課本習題．
補充作業(yè)
2．甲、乙兩組數據的方差之和為13，標準差之和為5，且甲的波動(dòng)比乙的波動(dòng)大，求它們各自的標準差．(答案：S甲=3，S乙=2．)
3．在某次數學(xué)考試中，甲、乙兩校各8個(gè)班，不及格的人數分別如下：
分別計算這兩組數據的平均數與方差．
四、教學(xué)注意問(wèn)題
要注意給學(xué)生講如下三點(diǎn)：
1．方差與標準差是衡量樣本和總體波動(dòng)大小的特征數．
2．用簡(jiǎn)化計算公式求方差較為方便．
3．對同類(lèi)問(wèn)題的兩組數據，方差小的波動(dòng)小、方差大的波動(dòng)大．
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