基本數學(xué)教案作圖
基本數學(xué)教案作圖
教學(xué)目標：
1、知識目標：
�。�1）要掌握尺規作圖的方法及一般步驟；
�。�2）掌握五種基本作圖,明確尺規作圖的意義，數學(xué)教案－基本作圖。
2、能力目標：
�。�1）通過(guò)“作圖題”練習，提高學(xué)生的幾何語(yǔ)言表達能力；
�。�2）通過(guò)畫(huà)圖，培養學(xué)生的作圖能力及動(dòng)手能力.
3、情感目標：
�。�1）體驗數學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔嚴謹。
�。�2）體會(huì )數學(xué)作圖語(yǔ)言和圖形的和諧統一。
教學(xué)重點(diǎn)：熟練掌握五個(gè)基本作圖，作圖時(shí)要做到規范使用尺規，規范使用作圖語(yǔ)言，規范地按照步驟作出圖形。
教學(xué)難點(diǎn)：作圖語(yǔ)言的準確應用，作圖的規范與準確。
教學(xué)用具：直尺，圓規
教學(xué)方法：講練結合法
教學(xué)過(guò)程：
前面我們學(xué)習了全等三角形的性質(zhì)、判定及一些較簡(jiǎn)單的幾何證明題．在學(xué)習中常常感到需要有準確、方便的畫(huà)圖方法，畫(huà)出符合條件的幾何圖形．本節我們學(xué)習這種幾何作圖方法．
1、閱讀教材，理解概念
學(xué)生閱讀教材第一部分，并回答問(wèn)題：
(1)尺規作圖：在幾何里，把限定用直尺和圓規來(lái)畫(huà)圖，稱(chēng)為尺規作圖．
(學(xué)生使用的尺子都有刻度，這里告訴學(xué)生，直尺是用來(lái)畫(huà)直線(xiàn)的，或者延長(cháng)線(xiàn)段、射線(xiàn)成直線(xiàn)的．我們作圖時(shí)，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它們去度量長(cháng)度，就是這里所說(shuō)的直尺)
(2)基本作圖：最基本、最常用的尺規作圖，通常稱(chēng)基本作圖．
一些復雜的尺規作圖，都是由基本作圖組成的，第一冊里曾講過(guò)用尺規作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，這是一種基本作圖，下面再介紹幾種基本作圖：
練習：作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段
2、講解例題，熟悉語(yǔ)言
教師邊作圖邊用語(yǔ)言敘述作法，讓學(xué)生聽(tīng)懂。
前面我們學(xué)會(huì )了用直尺和圓規作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段，學(xué)習判定兩個(gè)三角形全等“邊邊邊”公理時(shí)曾經(jīng)已知三邊畫(huà)三角形得到邊邊邊公理而因全等三角形的對應角相等，進(jìn)而達到角相等的目的．
1．作一個(gè)角等于已知角
分析：解作圖題的方法與證明題解法不相同，它一般應包括已知，求作。對于作圖首先將文字敘述轉化為數學(xué)語(yǔ)言，即要寫(xiě)出題目的已知、求作、作法、證明。
已知： AOB
求作： 使 ＝ AOB
分析：假設∠AOB已作出，且∠AOB=∠AOB，如圖2，在OA、OB、OA、OB上取點(diǎn)C、D、C、D，使OC=OD=OC=OD，那么△COD≌△COD．
由此可知，要作出∠AOB，使∠AOB=∠AOB，只要作出△OCD，使OC=OC，OD=OD，CD=CD，這就是前面學(xué)過(guò)的“已知三邊畫(huà)三角形”．
作法：
1、作射線(xiàn)
2、以點(diǎn)O為圓心，以任意長(cháng)為半徑作弧，交OA于C，交OB于D
3、以點(diǎn) 為圓心，以OC長(cháng)為半徑作弧，交 于
4、以點(diǎn) 為圓心，以CD長(cháng)為半徑作弧，交前弧于
5、經(jīng)過(guò)點(diǎn) 作射線(xiàn) 。 就是所求的角
證明：連結CD、CD，由作法可知
△COD≌△COD(SSS)
∴ ∠COD=∠COD(全等三角形對應角相等)．
即∠AOB=∠AOB．
說(shuō)明：作圖題的證明，常以作法為根據，只要“作法”中寫(xiě)明了作的是什么，證明中就可以用它作根據去證明．注意，在作圖題的“證明”中，一般過(guò)程都寫(xiě)得比較簡(jiǎn)單．如這個(gè)證明三角形全等的地方，把條件省略了．
練習：如圖3，在∠AOB的外部作∠AOC，使∠AOC=∠AOB．
首先要求作圖工具——直尺(無(wú)刻度)、圓規．
然后引導學(xué)生分析題意，弄清已知是什么，求作是什么？畫(huà)出已知條件(一個(gè)角)，寫(xiě)出已知、求作．在求作中先寫(xiě)出什么圖形，再寫(xiě)使它合乎什么條件．
作法可讓學(xué)生或教師作圖，學(xué)生敘述作法．
讓學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程．
2．平分已知角
前面我們用量角器作一個(gè)已知角∠AOB的平分線(xiàn)OC，怎樣用尺規來(lái)畫(huà)已知角的平分線(xiàn)呢？
分析：如圖4，假如∠AOB的平分線(xiàn)OC已經(jīng)畫(huà)出，在前面角的平分線(xiàn)的研究中，我們用折線(xiàn)的實(shí)驗發(fā)現：如果有OE=OD，那么CE=CD．這個(gè)實(shí)驗也啟發(fā)我們：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB嗎？
用“SSS”公理易證△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分線(xiàn)OC，在于怎樣才能找到起關(guān)鍵作用的點(diǎn)C？
怎樣確定點(diǎn)C呢？不難看出，為了確定C點(diǎn)，必須先找點(diǎn)E、D．以O為圓心，任意長(cháng)為半徑作弧，分別交OA、OB于D、E，那么OD=OE嗎？再分別以D、E為圓心，適當的長(cháng)度為半徑作弧，設兩弧交于點(diǎn)C，那么CD=CE嗎？而D、E為圓心，“適當”的長(cháng)度為半徑作弧，兩弧有一交點(diǎn)時(shí)，怎樣的長(cháng)度才“適當”呢？
已知：∠AOB如圖5
求作：射線(xiàn)OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：(1)在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD=OE．
�。�2）分別以D、E為圓心，大于 的長(cháng)為半徑作弧，在 內，兩弧交于點(diǎn)C．
(3)作射線(xiàn)OC．
OC就是所求的射線(xiàn)．
證明：連結CD、CE，由作法可知
△ODC≌△OEC
∴∠COD=∠COE(全等三角形的對應角相等)．
即∠AOC=∠BOC．
小結：
(1)基本作圖1、2有一個(gè)不同之點(diǎn)，即基本作圖2要把射線(xiàn)OC作在∠AOB內部，位置有指定性，基本作圖1所作的∠AOB并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠AOB作在∠AOB的近旁．
(2)作圖工具只限直尺和圓規，用鉛筆畫(huà)圖，并保留作圖過(guò)程中的輔助線(xiàn)(作圖痕跡)．
(3)只畫(huà)圖的題，要求畫(huà)完圖，寫(xiě)明所求作的圖形．如基本作圖中要寫(xiě)出“∠AOB就是所求的角．”
3．經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)
分兩種情況來(lái)考慮：
(1)經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)．
(2)經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外的一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)．
引導學(xué)生寫(xiě)出解題的全過(guò)程：已知、求作、作法、證明．關(guān)鍵地方和疑點(diǎn)要向學(xué)生解釋清楚．
分析：現在要尋找“經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)”的方法，能利用角平分線(xiàn)的作法嗎？如圖6，用直尺和圓規作∠AOB的平分線(xiàn)OF，如果畫(huà)出直線(xiàn)DE，那么∠AOB的平分線(xiàn)OF與直線(xiàn)DE垂直嗎？為什么？
如果我們把D、E看成一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，那么點(diǎn)O就是這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，圖6啟發(fā)我們經(jīng)過(guò)直線(xiàn)DE外一點(diǎn)O作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)的關(guān)鍵在于確定點(diǎn)F，你會(huì )確定點(diǎn)F嗎？
�、僖阎褐本�(xiàn)AB和AB上一點(diǎn)C，如圖7．
求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
作法：證明引導學(xué)生寫(xiě)出．
�、谝阎褐本�(xiàn)AB和AB外一點(diǎn)C，如圖8．
求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
作法：引導學(xué)生寫(xiě)出，要向學(xué)生說(shuō)明所取的點(diǎn)K必須要使它和C在A(yíng)B的兩旁，通過(guò)反例說(shuō)明不這樣作不行的道理．對教材中略去的證明要讓學(xué)生補出來(lái)．提示：連結CD、CE、FD、FE，設CF與AB交于點(diǎn)O．首先證明△CDF≌△CEF，再證明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，從而得∠DOF=∠EOF=90°．
4．作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)
先讓學(xué)生理解線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的概念．
垂直于一條線(xiàn)段并且平分這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，或中垂線(xiàn)．
分析：在圖6中OF是線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)嗎？為什么？
想一想：確定線(xiàn)段DE的垂直平分線(xiàn)的關(guān)鍵是什么？
引導學(xué)生寫(xiě)出已知、求作、作法．參照1．讓學(xué)生補上證明過(guò)程．以判定兩個(gè)三角形全等的公理或推論為根據，做幾何作圖題的證明，一方面可以使學(xué)生確信作圖的正確性；另一方面也可以復習鞏固證明三角形全等的方法．
因為直線(xiàn)CD與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)，所以我們也用這種方法作線(xiàn)段的中點(diǎn)．
小結：
作角平分線(xiàn)、垂線(xiàn)、中垂線(xiàn)從本質(zhì)上講是一致的：根據“SSS”公理，確定兩點(diǎn)，從而確定所求直(射)線(xiàn)．
至此，基本作圖共講了5個(gè)，第一章中有一個(gè)“作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段”，本章又有4個(gè)．對于這些基本作圖應該牢固掌握，靈活運用，因為它是幾何作圖的基礎．反復練習5個(gè)基本作圖，讓學(xué)生熟悉解作圖題的全過(guò)程，及時(shí)準確總結出幾種常見(jiàn)幾何作圖語(yǔ)言即作圖范句
例4、已知：線(xiàn)段
求作： ，使
作法：
1、作線(xiàn)段BC＝a
2、分別以點(diǎn)B、C為圓心，以 為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)A
3、連結AB、AC
就是所求作的三角形
例5、已知兩角和其中一角的對邊，求作三角形
已知：
求作：
作法：
1、作線(xiàn)段
2、在BC的同側作
DE、EC交于點(diǎn)A，初中數學(xué)教案《數學(xué)教案－基本作圖》。
為所求的三角形
證明：（略）
讓學(xué)生補充證明。
3、總結歸納，便于掌握
（一）常用的作圖語(yǔ)言：
�。�1）過(guò)點(diǎn) 、 作線(xiàn)段或射線(xiàn)、直線(xiàn)；（2）連結兩點(diǎn) 、 ；（3）在線(xiàn)段或射線(xiàn) 上截取 ＝ ；（4）以點(diǎn) 為圓心，以 的長(cháng)為半徑作圓（或畫(huà)�。�，交 于點(diǎn) ；（5）分別以點(diǎn) ，點(diǎn) 為圓心，以 ， 的長(cháng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn) ；（6）延長(cháng) 到點(diǎn) ，使 ＝ 。
（二）作圖題說(shuō)明
在作圖中，有屬于基本作圖的地方，寫(xiě)作法時(shí)，不必重復作圖的詳細過(guò)程，只用一句話(huà)概括敘述就可以了。
(1)作線(xiàn)段 ＝ ；（2）作∠ ＝∠ ；（3）作 （射線(xiàn)）平分∠ ；
�。�4）過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為點(diǎn) ；（5）作線(xiàn)段 的垂直平分線(xiàn) ；
4、課堂練習，鞏固內容
(1)平分已知角
(2)作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)
學(xué)生板書(shū)并講解,教師點(diǎn)評。
5、布置作業(yè)：
a、書(shū)面作業(yè)P88＃1
b、上交作業(yè)P88＃3、9
板書(shū)設計： 數學(xué)教案－基本作圖
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