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數學(xué)歸納法證明的原理

時(shí)間:2024-05-12 04:20:00

數學(xué)歸納法證明的原理

數學(xué)歸納法證明的原理

數學(xué)歸納法證明的原理

  數學(xué)歸納法證明的原理

  數學(xué)歸納法證明的是與自然數有關(guān)的命題,它的依據是皮亞諾提出的自

  然數的序數理論,就是通常所說(shuō)的自然數的皮亞諾公理,內容是:

 �。ǎ保� 是自然數。

 �。ǎ玻┟總€(gè)自然數 a 有一個(gè)確定的“直接后繼”數 a’,a 也是自然數。

 �。ǎ玻帷伲�,即 1 不是任何自然數的“直接后繼”數。

 �。ǎ矗┯� a’=b’,推得 a=b,即每個(gè)自然數只能是另外的唯一自然的“直

  接后繼”數。

 �。ǎ担┤我蛔匀粩档募�,如果包含 1,并且假設包含 a,也一定包含 a

  的“直接后繼”數 a’,則這個(gè)集合包含所有的自然數。

  皮亞諾公理中的(5)是數學(xué)歸納法的依據,又叫歸納公理

  數學(xué)歸納法的應用及舉例。

  因為由假設知 42k+1+3k+2 能被 13 整除,1342k+1 也能被 13 整除,這就

  是說(shuō),當 n=k+1 時(shí),f(k+l)能被 13 整除。根據(1)、(2),可知命題

  對任何 n∈N 都成立。

  下面按歸納步中歸納假設的形式向讀者介紹數學(xué)歸納法的幾種不同形式

  以及它們的應用。

 �。ǎ欤┖�(jiǎn)單歸納法。即在歸納步中,歸納假設為“n=k 時(shí)待證命題成立”。

  這是最常用的一種歸納法,稱(chēng)為簡(jiǎn)單歸納法,大家都比較熟悉,這里不再贅

  述。

 �。ǎ玻⿵姎w納法。這種數學(xué)歸納法,在歸納步中,其歸納假設為“n≥k

  時(shí)待證命題成立”。我們稱(chēng)之為強歸納法,又叫串值歸納法。

  通常,如果在證明 p(n+l)成立時(shí),不僅依賴(lài)于 p(n)成立,而且還

  可能依賴(lài)于以前各步時(shí),一般應選用強歸納法,下面舉例說(shuō)明其應用。

  例 有數目相等的兩堆棋子,兩人輪流從任一堆里取幾項棋子,但不能

  不取也不能同時(shí)從兩堆里取,規定凡取得最后一項者勝。求證后者必勝。

  證:歸納元 n 為每堆棋子的數目。設甲為先取者,乙為后取者。

  奠基 n=l,易證乙必勝。

  歸納 設 N n≤k 時(shí),乙必勝�,F證 n=k+l 時(shí)也是乙必勝。

  設甲在某堆中先取 r 顆,O<r≤k。乙的對策是在另一堆中也取 r 顆。有

  二種可能:

 �。ǎ保┤� r<k,經(jīng)過(guò)兩人各取一次之后,兩堆都只有 k-r 顆,k-r<k,

  現在又輪到甲先取,依歸納假設,乙必勝。

 �。ǎ玻┤� r=k,顯然是乙勝,證畢。

  上述形式的歸納法雖然比較簡(jiǎn)單,但如使用不當,往往會(huì )發(fā)生錯誤,有

  兩點(diǎn)應注意:第一,在使用歸納假設時(shí)防止無(wú)形中引入不相干的假設。第二,

  在證明過(guò)程中應注意數學(xué)規律的正確性。下面我們引入一個(gè)反例,在這個(gè)反

  例中,由于錯誤的證明導致證得了錯誤的待證命題。

  反倒:證明任意 n 條直線(xiàn)均能重合成一條直線(xiàn)。

  下面給出錯誤的證明:

  證:奠基 n=1 時(shí)該命題成立。

  歸納 利用強歸納法,可以有如下的歸納假設:任意 1 條,2 條,3 條,…,

 �。� 條直線(xiàn)均重合成一條直線(xiàn),要證 k+1 條直線(xiàn)也重合成一條直線(xiàn),設這 k+1

  條直線(xiàn)為 l1、l2、…,lk,lk+1 由強歸納假設得 l1,…,lk…重合為一條直線(xiàn),

  記為 l。又由強歸納假設得 l 和 lk+1 重合為一條直線(xiàn),于是任意 n 條直線(xiàn)便

  重合一條直線(xiàn)了。

  細心的讀者也許已經(jīng)發(fā)現這里的錯誤了,這是由于錯誤地使用了強歸納

  假設而造成的。具體地說(shuō),這是在“l 和 lk+1 這兩條直線(xiàn)重合為一條直線(xiàn)”

  這一點(diǎn)把強歸納假設使用錯了。強歸納假設中并沒(méi)有包含這一條件,因為我

  們這里奠的基是 n=l,因此待證命題“k+1 條直線(xiàn)重合為一條直線(xiàn)”要求對于

  一切大于等于 1 的 k 成立,而上面證明中所假設的 l 和 lk+1 重合為一條直線(xiàn)

  實(shí)際上是要求 k≥2,這就是錯誤的所在。

 �。ǎ常﹨⒆儦w納法。在待證命題中含有參數的時(shí)候,例如 P(u,n),則

  用數學(xué)歸納法證明 P(u,n)對一切 n 成立時(shí),在奠基步中,應證 P(u,0)

  對一切 u 成立。在歸納步中,假設 P(u,k)對一切 u 成立,證明 P(u,k+1)

  對一切 u 成立。這里,“P(u,k)”對一切 u 成立稱(chēng)之為參變歸納假設,這

  種證明方法叫做參變歸納法,U 起著(zhù)參數的作用。

  例 求證當 n≥3 時(shí)有 n(n+1)≥(n+1)3。

  本題證明的困難主要在于歸納步驟,無(wú)論采用哪種歸納假設,都難于證

  明。如果我們對該待證命題施展一定的技巧,把該式中的部分 n 寫(xiě)成 u(視

  作參數),部分 n 保持不變,即寫(xiě)成

 �。睿酰睢荩ǎ酰欤�,

  則可用參變歸納法證明當 u≥n≥3 時(shí)上式成立,原命題即可得證。

  奠基 n=3 時(shí),對 u≥3 的一切 u 均有

  右端=3u3=u3+uu2u

  ≥u3+3u+gu

 �。荆酰常常酰玻常酰�

 �。剑ǎ酰保常接叶�

  歸納 n=k+1 時(shí),

  左端=(k+1)Uk+1=u(k+1)uk

 �。剑ǎ酰� 十 u)uk≥(uk 十 k)Uk

 �。剑耄ǎ酰欤酰搿荩ǎ睿保ǎ酰保�

 �。剑ǎ眨欤耄保接叶�。

  所以當 u≥n≥3 時(shí),有 nun>(u+l)n。

  令 u=n,上式便為 nn+1≥(n+l)n,即為原不等式,故原不等式得證。

  值得指出的是,上面三種形式的數學(xué)歸納法,都要求待證命題含有自然

  數變元 n,對 n 施行歸納,n 稱(chēng)為歸納變元,但是在數學(xué)的一些分支中,有些

  待證命題表面上看來(lái)似乎不含自然數變元 n,但仔細一分析,實(shí)際上是含有

  自然數變元的,當我們一旦把 n 的含義明確以后,用數學(xué)歸納法去證明這些

  待證命題就迎刃而解了。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

  例 證明由{a,b,c,d}四個(gè)標識符利用+、-運算符組成的任意算術(shù)

  表達式中,所含標識符的個(gè)數一定等于這個(gè)表達式中運算符的個(gè)數加 1。

  證:設任意的表達式為 f,而歸納變元 n 為 f 中所含運算符的個(gè)數。

  奠基 n=0,則 f 由一個(gè)標識符組成(因為沒(méi)有運算符),所以命題成立。

  歸納 假設 n≤k 時(shí)本命題成立,現證 n=k+1 時(shí)本命題也成立。 f 一

  定是下述兩種情況之一:

 �。� 是 f1+f2 或 f 是 f1-f2。

  其中 f1,f2 所含的運算符個(gè)數都小于 k+l,對 f1,f2 使用歸納假設,可

  得 f1+f2,f1-f2 中所含標識符個(gè)數也比各自所含的運算符的個(gè)數多 1。

 �。ǎ矗⿵V義歸納法。數學(xué)歸納法不僅可用于含有自然數變元 n 的命題,經(jīng)

  推廣后,還可用于含有某些其它集合上的命題。這種集合,稱(chēng)為歸納集。對

  于一個(gè)含有某個(gè)歸納集上的變元 x 的待證命題 P(x),所用的歸納法稱(chēng)之為

  廣義歸納法。

  定義:設有一個(gè)集合 A,如果它滿(mǎn)足下面三個(gè)性質(zhì):

 �。ǎ保幔�,a2…,an 是 A 中的元素(n≥1);

 �。ǎ玻┤绻� x 是 A 中元素,則 f11(x),f12(x),…f1n1(x)也是 A 中

  的元素(n、>0);

  如果 x,y 是 A 是元素,則 f21(x、y),f22(x,y),…f2n2(x,y)

  也是 A 中元素(n2>0);…;

  如果 x1…,xm 是 A 中元素,則 fm1 xl…xm),fm2(xl…,xm),…fmnm

 �。ǎ薄�,xm)也是 A 中元素(m≥l,nm>0)。

 �。ǎ常� 中的元素僅限于此。

  則 A 稱(chēng)之為歸納集 a1,a2,…an 稱(chēng)為該集的開(kāi)始元素,諸 fij 稱(chēng)為該集

  的生成函數(其中第一下標為該函數的元素,第二下標以區分具有同樣元素

  的各函數)。

  按照上述的定義,自然數集是歸納集,它的開(kāi)始元素是 0,生成函數是 f

 �。ǎ剑�。

  前例中集{a,b,c,d}的元素利用“+”,“-”運算所構成的一切表

  達式的集合是歸納集,開(kāi)始元素是是 a,b,c,d,生成函數為 f21(x,y)

 �。剑�,f22(x,y)=x-y。

  在證明含有某個(gè)歸納集 A 上的變元 X 的待證命題 P(x)時(shí),可用如下的

  廣義歸納法。

  奠基步要證明(al),P(a2),……P(an)成立,這里 al,a2…,an

  是 A 中的開(kāi)始元素。

  歸納法要證明對于 1≤i≤m 及 1≤j≤n 的所有 i、j 對于 A 中的任何元

  素 x1,x2…,xi,如果 P(xl),P(x2),…,P(x1)成立,則 P(fij(xx1,…,

 �。椋┮渤闪�。在例 4 中,因為表達式所組成的集合是歸納集(記為 A),

  我們可用廣義歸納法證之。

  奠基:對于 A 中的四個(gè)開(kāi)始元素 a,b,C,d,因為它們的標識符個(gè)數為

 �。�, 而運算符個(gè)數均為 0,所以命題成立。

  歸納:對于 A 中的元素 x,y,f21(x,y)=x+y 中,我們設 x+y 標識

  符個(gè)數為 m,運算符個(gè)數為 n;

 �。� 中標識符個(gè)數為 ml,運算符個(gè)數為 nl;

 �。� 中標識符個(gè)數為 m2,運算符個(gè)數為 n2;

  則

 �。恚剑恚欤恚玻剑ǎ睿保保ǎ睿玻保�

 �。ǎ睿欤睿保保剑睿保�

  同理可證 f22(x,y)=x-y 也有如上的結果,故依廣義歸納法,本命題

  成立。

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數學(xué)歸納法證明的原理

數學(xué)歸納法證明的原理

  數學(xué)歸納法證明的原理

  數學(xué)歸納法證明的是與自然數有關(guān)的命題,它的依據是皮亞諾提出的自

  然數的序數理論,就是通常所說(shuō)的自然數的皮亞諾公理,內容是:

 �。ǎ保� 是自然數。

 �。ǎ玻┟總€(gè)自然數 a 有一個(gè)確定的“直接后繼”數 a’,a 也是自然數。

 �。ǎ玻帷伲�,即 1 不是任何自然數的“直接后繼”數。

 �。ǎ矗┯� a’=b’,推得 a=b,即每個(gè)自然數只能是另外的唯一自然的“直

  接后繼”數。

 �。ǎ担┤我蛔匀粩档募�,如果包含 1,并且假設包含 a,也一定包含 a

  的“直接后繼”數 a’,則這個(gè)集合包含所有的自然數。

  皮亞諾公理中的(5)是數學(xué)歸納法的依據,又叫歸納公理

  數學(xué)歸納法的應用及舉例。

  因為由假設知 42k+1+3k+2 能被 13 整除,1342k+1 也能被 13 整除,這就

  是說(shuō),當 n=k+1 時(shí),f(k+l)能被 13 整除。根據(1)、(2),可知命題

  對任何 n∈N 都成立。

  下面按歸納步中歸納假設的形式向讀者介紹數學(xué)歸納法的幾種不同形式

  以及它們的應用。

 �。ǎ欤┖�(jiǎn)單歸納法。即在歸納步中,歸納假設為“n=k 時(shí)待證命題成立”。

  這是最常用的一種歸納法,稱(chēng)為簡(jiǎn)單歸納法,大家都比較熟悉,這里不再贅

  述。

 �。ǎ玻⿵姎w納法。這種數學(xué)歸納法,在歸納步中,其歸納假設為“n≥k

  時(shí)待證命題成立”。我們稱(chēng)之為強歸納法,又叫串值歸納法。

  通常,如果在證明 p(n+l)成立時(shí),不僅依賴(lài)于 p(n)成立,而且還

  可能依賴(lài)于以前各步時(shí),一般應選用強歸納法,下面舉例說(shuō)明其應用。

  例 有數目相等的兩堆棋子,兩人輪流從任一堆里取幾項棋子,但不能

  不取也不能同時(shí)從兩堆里取,規定凡取得最后一項者勝。求證后者必勝。

  證:歸納元 n 為每堆棋子的數目。設甲為先取者,乙為后取者。

  奠基 n=l,易證乙必勝。

  歸納 設 N n≤k 時(shí),乙必勝�,F證 n=k+l 時(shí)也是乙必勝。

  設甲在某堆中先取 r 顆,O<r≤k。乙的對策是在另一堆中也取 r 顆。有

  二種可能:

 �。ǎ保┤� r<k,經(jīng)過(guò)兩人各取一次之后,兩堆都只有 k-r 顆,k-r<k,

  現在又輪到甲先取,依歸納假設,乙必勝。

 �。ǎ玻┤� r=k,顯然是乙勝,證畢。

  上述形式的歸納法雖然比較簡(jiǎn)單,但如使用不當,往往會(huì )發(fā)生錯誤,有

  兩點(diǎn)應注意:第一,在使用歸納假設時(shí)防止無(wú)形中引入不相干的假設。第二,

  在證明過(guò)程中應注意數學(xué)規律的正確性。下面我們引入一個(gè)反例,在這個(gè)反

  例中,由于錯誤的證明導致證得了錯誤的待證命題。

  反倒:證明任意 n 條直線(xiàn)均能重合成一條直線(xiàn)。

  下面給出錯誤的證明:

  證:奠基 n=1 時(shí)該命題成立。

  歸納 利用強歸納法,可以有如下的歸納假設:任意 1 條,2 條,3 條,…,

 �。� 條直線(xiàn)均重合成一條直線(xiàn),要證 k+1 條直線(xiàn)也重合成一條直線(xiàn),設這 k+1

  條直線(xiàn)為 l1、l2、…,lk,lk+1 由強歸納假設得 l1,…,lk…重合為一條直線(xiàn),

  記為 l。又由強歸納假設得 l 和 lk+1 重合為一條直線(xiàn),于是任意 n 條直線(xiàn)便

  重合一條直線(xiàn)了。

  細心的讀者也許已經(jīng)發(fā)現這里的錯誤了,這是由于錯誤地使用了強歸納

  假設而造成的。具體地說(shuō),這是在“l 和 lk+1 這兩條直線(xiàn)重合為一條直線(xiàn)”

  這一點(diǎn)把強歸納假設使用錯了。強歸納假設中并沒(méi)有包含這一條件,因為我

  們這里奠的基是 n=l,因此待證命題“k+1 條直線(xiàn)重合為一條直線(xiàn)”要求對于

  一切大于等于 1 的 k 成立,而上面證明中所假設的 l 和 lk+1 重合為一條直線(xiàn)

  實(shí)際上是要求 k≥2,這就是錯誤的所在。

 �。ǎ常﹨⒆儦w納法。在待證命題中含有參數的時(shí)候,例如 P(u,n),則

  用數學(xué)歸納法證明 P(u,n)對一切 n 成立時(shí),在奠基步中,應證 P(u,0)

  對一切 u 成立。在歸納步中,假設 P(u,k)對一切 u 成立,證明 P(u,k+1)

  對一切 u 成立。這里,“P(u,k)”對一切 u 成立稱(chēng)之為參變歸納假設,這

  種證明方法叫做參變歸納法,U 起著(zhù)參數的作用。

  例 求證當 n≥3 時(shí)有 n(n+1)≥(n+1)3。

  本題證明的困難主要在于歸納步驟,無(wú)論采用哪種歸納假設,都難于證

  明。如果我們對該待證命題施展一定的技巧,把該式中的部分 n 寫(xiě)成 u(視

  作參數),部分 n 保持不變,即寫(xiě)成

 �。睿酰睢荩ǎ酰欤�,

  則可用參變歸納法證明當 u≥n≥3 時(shí)上式成立,原命題即可得證。

  奠基 n=3 時(shí),對 u≥3 的一切 u 均有

  右端=3u3=u3+uu2u

  ≥u3+3u+gu

 �。荆酰常常酰玻常酰�

 �。剑ǎ酰保常接叶�

  歸納 n=k+1 時(shí),

  左端=(k+1)Uk+1=u(k+1)uk

 �。剑ǎ酰� 十 u)uk≥(uk 十 k)Uk

 �。剑耄ǎ酰欤酰搿荩ǎ睿保ǎ酰保�

 �。剑ǎ眨欤耄保接叶�。

  所以當 u≥n≥3 時(shí),有 nun>(u+l)n。

  令 u=n,上式便為 nn+1≥(n+l)n,即為原不等式,故原不等式得證。

  值得指出的是,上面三種形式的數學(xué)歸納法,都要求待證命題含有自然

  數變元 n,對 n 施行歸納,n 稱(chēng)為歸納變元,但是在數學(xué)的一些分支中,有些

  待證命題表面上看來(lái)似乎不含自然數變元 n,但仔細一分析,實(shí)際上是含有

  自然數變元的,當我們一旦把 n 的含義明確以后,用數學(xué)歸納法去證明這些

  待證命題就迎刃而解了。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。

  例 證明由{a,b,c,d}四個(gè)標識符利用+、-運算符組成的任意算術(shù)

  表達式中,所含標識符的個(gè)數一定等于這個(gè)表達式中運算符的個(gè)數加 1。

  證:設任意的表達式為 f,而歸納變元 n 為 f 中所含運算符的個(gè)數。

  奠基 n=0,則 f 由一個(gè)標識符組成(因為沒(méi)有運算符),所以命題成立。

  歸納 假設 n≤k 時(shí)本命題成立,現證 n=k+1 時(shí)本命題也成立。 f 一

  定是下述兩種情況之一:

 �。� 是 f1+f2 或 f 是 f1-f2。

  其中 f1,f2 所含的運算符個(gè)數都小于 k+l,對 f1,f2 使用歸納假設,可

  得 f1+f2,f1-f2 中所含標識符個(gè)數也比各自所含的運算符的個(gè)數多 1。

 �。ǎ矗⿵V義歸納法。數學(xué)歸納法不僅可用于含有自然數變元 n 的命題,經(jīng)

  推廣后,還可用于含有某些其它集合上的命題。這種集合,稱(chēng)為歸納集。對

  于一個(gè)含有某個(gè)歸納集上的變元 x 的待證命題 P(x),所用的歸納法稱(chēng)之為

  廣義歸納法。

  定義:設有一個(gè)集合 A,如果它滿(mǎn)足下面三個(gè)性質(zhì):

 �。ǎ保幔�,a2…,an 是 A 中的元素(n≥1);

 �。ǎ玻┤绻� x 是 A 中元素,則 f11(x),f12(x),…f1n1(x)也是 A 中

  的元素(n、>0);

  如果 x,y 是 A 是元素,則 f21(x、y),f22(x,y),…f2n2(x,y)

  也是 A 中元素(n2>0);…;

  如果 x1…,xm 是 A 中元素,則 fm1 xl…xm),fm2(xl…,xm),…fmnm

 �。ǎ薄�,xm)也是 A 中元素(m≥l,nm>0)。

 �。ǎ常� 中的元素僅限于此。

  則 A 稱(chēng)之為歸納集 a1,a2,…an 稱(chēng)為該集的開(kāi)始元素,諸 fij 稱(chēng)為該集

  的生成函數(其中第一下標為該函數的元素,第二下標以區分具有同樣元素

  的各函數)。

  按照上述的定義,自然數集是歸納集,它的開(kāi)始元素是 0,生成函數是 f

 �。ǎ剑�。

  前例中集{a,b,c,d}的元素利用“+”,“-”運算所構成的一切表

  達式的集合是歸納集,開(kāi)始元素是是 a,b,c,d,生成函數為 f21(x,y)

 �。剑�,f22(x,y)=x-y。

  在證明含有某個(gè)歸納集 A 上的變元 X 的待證命題 P(x)時(shí),可用如下的

  廣義歸納法。

  奠基步要證明(al),P(a2),……P(an)成立,這里 al,a2…,an

  是 A 中的開(kāi)始元素。

  歸納法要證明對于 1≤i≤m 及 1≤j≤n 的所有 i、j 對于 A 中的任何元

  素 x1,x2…,xi,如果 P(xl),P(x2),…,P(x1)成立,則 P(fij(xx1,…,

 �。椋┮渤闪�。在例 4 中,因為表達式所組成的集合是歸納集(記為 A),

  我們可用廣義歸納法證之。

  奠基:對于 A 中的四個(gè)開(kāi)始元素 a,b,C,d,因為它們的標識符個(gè)數為

 �。�, 而運算符個(gè)數均為 0,所以命題成立。

  歸納:對于 A 中的元素 x,y,f21(x,y)=x+y 中,我們設 x+y 標識

  符個(gè)數為 m,運算符個(gè)數為 n;

 �。� 中標識符個(gè)數為 ml,運算符個(gè)數為 nl;

 �。� 中標識符個(gè)數為 m2,運算符個(gè)數為 n2;

  則

 �。恚剑恚欤恚玻剑ǎ睿保保ǎ睿玻保�

 �。ǎ睿欤睿保保剑睿保�

  同理可證 f22(x,y)=x-y 也有如上的結果,故依廣義歸納法,本命題

  成立。