應用題的題型總結和解題方法
應用題的題型總結和解題方法
小學(xué)數學(xué)中把含有數量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題用語(yǔ)言或文字敘述出來(lái)，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構成。第一部分是已知條件(簡(jiǎn)稱(chēng)條件)，第二部分是所求問(wèn)題(簡(jiǎn)稱(chēng)問(wèn)題)。應用題的條件和問(wèn)題，組成了應用題的結構。
11 行船問(wèn)題
【含義】 行船問(wèn)題也就是與航行有關(guān)的問(wèn)題。解答這類(lèi)問(wèn)題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度;水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和;船只逆水航行的速度是船速與水速之差。
【數量關(guān)系】
(順水速度+逆水速度)÷2=船速
(順水速度-逆水速度)÷2=水速
順水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2
逆水速=船速×2-順水速=順水速-水速×2
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關(guān)系的公式。
例1 一只船順水行320千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)?
解 由條件知，順水速=船速+水速=320÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí) 320÷8-15=25(千米)
船的逆水速為 25-15=10(千米)
船逆水行這段路程的時(shí)間為 320÷10=32(小時(shí))
答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。
例2 甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí);乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間?
解由題意得 甲船速+水速=360÷10=36
甲船速-水速=360÷18=20
可見(jiàn) (36-20)相當于水速的2倍，
所以， 水速為每小時(shí) (36-20)÷2=8(千米)
又因為， 乙船速-水速=360÷15，
所以， 乙船速為 360÷15+8=32(千米)
乙船順水速為 32+8=40(千米)
所以， 乙船順水航行360千米需要
360÷40=9(小時(shí))
答：乙船返回原地需要9小時(shí)。
例3 一架飛機飛行在兩個(gè)城市之間，飛機的速度是每小時(shí)576千米，風(fēng)速為每小時(shí)24千米，飛機逆風(fēng)飛行3小時(shí)到達，順風(fēng)飛回需要幾小時(shí)?
解 這道題可以按照流水問(wèn)題來(lái)解答。
(1)兩城相距多少千米?
(576-24)×3=1656(千米)
(2)順風(fēng)飛回需要多少小時(shí)?
1656÷(576+24)=2.76(小時(shí))
列成綜合算式
[(576-24)×3]÷(576+24)
=2.76(小時(shí))
答：飛機順風(fēng)飛回需要2.76小時(shí)。
12 列車(chē)問(wèn)題
【含義】 這是與列車(chē)行駛有關(guān)的一些問(wèn)題，解答時(shí)要注意列車(chē)車(chē)身的長(cháng)度。
【數量關(guān)系】
火車(chē)過(guò)橋：過(guò)橋時(shí)間=(車(chē)長(cháng)+橋長(cháng))÷車(chē)速
火車(chē)追及： 追及時(shí)間=(甲車(chē)長(cháng)+乙車(chē)長(cháng)+距離)÷(甲車(chē)速-乙車(chē)速)
火車(chē)相遇： 相遇時(shí)間=(甲車(chē)長(cháng)+乙車(chē)長(cháng)+距離)÷(甲車(chē)速+乙車(chē)速)
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關(guān)系的公式。
例1 一座大橋長(cháng)2400米，一列火車(chē)以每分鐘900米的速度通過(guò)大橋，從車(chē)頭開(kāi)上橋到車(chē)尾離開(kāi)橋共需要3分鐘。這列火車(chē)長(cháng)多少米?
解 火車(chē)3分鐘所行的路程，就是橋長(cháng)與火車(chē)車(chē)身長(cháng)度的和。
(1)火車(chē)3分鐘行多少米? 900×3=2700(米)
(2)這列火車(chē)長(cháng)多少米? 2700-2400=300(米)
列成綜合算式 900×3-2400=300(米)
答：這列火車(chē)長(cháng)300米。
例2 一列長(cháng)200米的火車(chē)以每秒8米的速度通過(guò)一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長(cháng)度是多少米?
解 火車(chē)過(guò)橋所用的時(shí)間是2分5秒=125秒，所走的路程是(8×125)米，這段路程就是(200米+橋長(cháng))，所以，橋長(cháng)為
8×125-200=800(米)
答：大橋的長(cháng)度是800米。
例3 一列長(cháng)225米的慢車(chē)以每秒17米的速度行駛，一列長(cháng)140米的快車(chē)以每秒22米的速度在后面追趕，求快車(chē)從追上到追過(guò)慢車(chē)需要多長(cháng)時(shí)間?
解 從追上到追過(guò)，快車(chē)比慢車(chē)要多行(225+140)米，而快車(chē)比慢車(chē)每秒多行(22-17)米，因此，所求的時(shí)間為
(225+140)÷(22-17)=73(秒)
答：需要73秒。
例4 一列長(cháng)150米的列車(chē)以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來(lái)，那么，火車(chē)從工人身旁駛過(guò)需要多少時(shí)間?
解 如果把人看作一列長(cháng)度為零的火車(chē)，原題就相當于火車(chē)相遇問(wèn)題。
150÷(22+3)=6(秒)
答：火車(chē)從工人身旁駛過(guò)需要6秒鐘。
例5 一列火車(chē)穿越一條長(cháng)2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過(guò)一條長(cháng)1250米的大橋用了58秒。求這列火車(chē)的車(chē)速和車(chē)身長(cháng)度各是多少?
解 車(chē)速和車(chē)長(cháng)都沒(méi)有變，但通過(guò)隧道和大橋所用的時(shí)間不同，是因為隧道比大橋長(cháng)�？芍疖�(chē)在(88-58)秒的時(shí)間內行駛了(2000-1250)米的路程，因此，火車(chē)的車(chē)速為每秒
(2000-1250)÷(88-58)=25(米)
進(jìn)而可知，車(chē)長(cháng)和橋長(cháng)的和為(25×58)米，
因此，車(chē)長(cháng)為 25×58-1250=200(米)
答：這列火車(chē)的車(chē)速是每秒25米，車(chē)身長(cháng)200米。
13 時(shí)鐘問(wèn)題
【含義】 就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問(wèn)題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線(xiàn)、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問(wèn)題可與追及問(wèn)題相類(lèi)比。
【數量關(guān)系】
分針的速度是時(shí)針的12倍，
二者的速度差為11/12。
通常按追及問(wèn)題來(lái)對待，也可以按差倍問(wèn)題來(lái)計算。
【解題思路和方法】
變通為“追及問(wèn)題”后可以直接利用公式。
例1 從時(shí)針指向4點(diǎn)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針正好與分針重合?
解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格;時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)=11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以
分針追上時(shí)針的時(shí)間為 20÷(1-1/12)≈ 22(分)
答：再經(jīng)過(guò)22分鐘時(shí)針正好與分針重合。
例2 四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分針在什么時(shí)候成直角?
解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格(包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況)。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(5×4) 格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走 (5×4-15)格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走(5×4+15)格。再根據1分鐘分針比時(shí)針多走(1-1/12)格就可以求出 二針成直角的時(shí)間。
(5×4-15)÷(1-1/12)≈ 6(分)
(5×4+15)÷(1-1/12)≈ 38(分)
答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。
例3 六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么時(shí)候時(shí)針與分針重合?
解 六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后(5×6)格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問(wèn)題。
(5×6)÷(1-1/12)≈ 33(分)
答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。
14 盈虧問(wèn)題
【含義】 根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余(盈)，一次不足(虧)，或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類(lèi)應用題叫做盈虧問(wèn)題。
【數量關(guān)系】
一般地說(shuō)，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：
參加分配總人數=(盈+虧)÷分配差
如果兩次都盈或都虧，則有：
參加分配總人數=(大盈-小盈)÷分配差
參加分配總人數=(大虧-小虧)÷分配差
【解題思路和方法】
大多數情況可以直接利用數量關(guān)系的公式。
例1 給幼兒園小朋友分蘋(píng)果，若每人分3個(gè)就余11個(gè);若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問(wèn)有多少小朋友?有多少個(gè)蘋(píng)果?
解 按照“參加分配的總人數=(盈+虧)÷分配差”的數量關(guān)系：
(1)有小朋友多少人?(11+1)÷(4-3)=12(人)
(2)有多少個(gè)蘋(píng)果? 3×12+11=47(個(gè))
答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋(píng)果。
例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長(cháng)就得延長(cháng)8天;如果每天修300米，修完全長(cháng)仍得延長(cháng)4天。這條路全長(cháng)多少米?
解 題中原定完成任務(wù)的天數，就相當于“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數=(大虧-小虧)÷分配差”的數量關(guān)系，可以得知
原定完成任務(wù)的天數為
(260×8-300×4)÷(300-260)=22(天)
這條路全長(cháng)為 300×(22+4)=7800(米)
答：這條路全長(cháng)7800米。
例3 學(xué)校組織春游，如果每輛車(chē)坐40人，就余下30人;如果每輛車(chē)坐45人，就剛好坐完。問(wèn)有多少車(chē)?多少人?
解 本題中的車(chē)輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是就有
(1)有多少車(chē)?(30-0)÷(45-40)=6(輛)
(2)有多少人? 40×6+30=270(人)
答：有6 輛車(chē)，有270人。
15 工程問(wèn)題
【含義】 工程問(wèn)題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間三者之間的關(guān)系。這類(lèi)問(wèn)題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量。
【數量關(guān)系】
解答工程問(wèn)題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(它表示單位時(shí)間內完成工作總量的幾分之幾)，進(jìn)而就可以根據工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。
工作量=工作效率×工作時(shí)間
工作時(shí)間=工作量÷工作效率
工作時(shí)間=總工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解題思路和方法】
變通后可以利用上述數量關(guān)系的公式。
例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成?
解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒(méi)有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的 1/10;乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15;兩隊合做，每天可以完成這項工程的(1/10+1/15)。
由此可以列出算式： 1÷(1/10+1/15)=1÷1/6=6(天)
答：兩隊合做需要6天完成。
例2 一批零件，甲獨做6小時(shí)完成，乙獨做8小時(shí)完成�，F在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)?
解 設總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成(1/6-1/8)，二人合做時(shí)每小時(shí)完成(1/6+1/8)。因為二人合做需要[1÷(1/6+1/8)]小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內，甲比乙多做24個(gè)零件，所以
(1)每小時(shí)甲比乙多做多少零件?
24÷[1÷(1/6+1/8)]=7(個(gè))
(2)這批零件共有多少個(gè)?
7÷(1/6-1/8)=168(個(gè))
答：這批零件共有168個(gè)。
解二 上面這道題還可以用另一種方法計算：
兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為 1/6∶1/8=4∶3
由此可知，甲比乙多完成總工作量的 4-3 / 4+3 =1/7
所以，這批零件共有 24÷1/7=168(個(gè))
例3 一件工作，甲獨做12小時(shí)完成，乙獨做10小時(shí)完成，丙獨做15小時(shí)完成�，F在甲先做2小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成?
解 必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會(huì )給計算帶來(lái)方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是
60÷12=5 60÷10=6 60÷15=4
因此余下的工作量由乙丙合做還需要
(60-5×2)÷(6+4)=5(小時(shí))
答：還需要5小時(shí)才能完成。
例4 一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細的進(jìn)水管。當打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿(mǎn)水池;當打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿(mǎn)水池;現在要用2小時(shí)將水池注滿(mǎn)，至少要打開(kāi)多少個(gè)進(jìn)水管?
解 注(排)水問(wèn)題是一類(lèi)特殊的工程問(wèn)題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內水的流量就是工作效率。
要2小時(shí)內將水池注滿(mǎn)，即要使2小時(shí)內的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量(一池水)。只要設某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。
我們設每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為(1×4×5)，2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為(1×2×15)，從而可知
每小時(shí)的排水量為 (1×2×15-1×4×5)÷(15-5)=1
即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知
一池水的總工作量為 1×4×5-1×5=15
又因為在2小時(shí)內，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為 1×2，
所以，2小時(shí)內注滿(mǎn)一池水
至少需要多少個(gè)進(jìn)水管? (15+1×2)÷(1×2)
=8.5≈9(個(gè))
答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。
16 正反比例問(wèn)題
【含義】 兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著(zhù)變化，如果這兩種量中相對應的兩個(gè)數的比的比值一定(即商一定)，那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。
兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著(zhù)變化，如果這兩種量中相對應的兩個(gè)數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。
【數量關(guān)系】
判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類(lèi)應用題的關(guān)鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問(wèn)題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷。
【解題思路和方法】
解決這類(lèi)問(wèn)題的重要方法是：把分率(倍數)轉化為比，應用比和比例的性質(zhì)去解應用題。
正反比例問(wèn)題與前面講過(guò)的倍比問(wèn)題基本類(lèi)似。
例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(cháng)是多少米?
解 由條件知，公路總長(cháng)不變。
原已修長(cháng)度∶總長(cháng)度=1∶(1+3)=1∶4=3∶12
現已修長(cháng)度∶總長(cháng)度=1∶(1+2)=1∶3=4∶12
比較以上兩式可知，把總長(cháng)度當作12份，則300米相當于(4-3)份，從而知公路總長(cháng)為 300÷(4-3)×12=3600(米)
答： 這條公路總長(cháng)3600米。
例2 張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應用題?
解 做題效率一定，做題數量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系
設91分鐘可以做X應用題 則有 28∶4=91∶X
28X=91×4 X=91×4÷28 X=13
答：91分鐘可以做13道應用題。
例3 孫亮看《十萬(wàn)個(gè)為什么》這本書(shū)，每天看24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè)，幾天就可以看完?
解 書(shū)的頁(yè)數一定，每天看的頁(yè)數與需要的天數成反比例關(guān)系
設X天可以看完，就有 24∶36=X∶15
36X=24×15 X=10
答：10天就可以看完。
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